本文应用变分法和临界点理论中的基本方法,研究了一类Hamilton系统和两类椭圆系统解的存在性和多解性.全文共分为三章,其主要内容如下:第一章,考虑了一类p-Laplace系统:其中p>1,T>0,F∈C([0,T],RN).假设F满足下面的条件:(H1)当|x| →∞ 时,F(t,x)/|x|p→ +∞,对 a.e.t∈[0,T]一致成立;(H2)存在常数a1,L1>0,使得(H3)F(t,-x)=F(t,x),对任意 x∈RN和 a.e.t∈[0,T]成立.利用临界点理论中的喷泉定理,得到如下主要定理:定理1.1.1.假设F满足条件(H1)-(H3),那么系统有无穷多个周期解.本章结果是己有文献p = 2的结论的推广.第二章,研究了一类含Neumamn边值条件的非线性椭圆系统:其中Ω(?)RN(N≥3)是具有光滑边界的有界区域,(?)/(?)n为外法线方向且 f∈C(Ω×R,R),g ∈C((?)Ω×R,R).假设f,g 满足下面的条件:(F1)存在fi∈L1(Ω;R+),gi∈L1((?)Ω;R+),αi∈[0,1),i=1,2,使得和(F2)利用变分法中的极小极大原理,得到如下主要定理:定理2.1.1.假设条件(F1)-(F2)成立,则(i)系统存在解序列{un},即泛函φ的临界点序列,使得当n→∞时,φ(un)→+∞;(ii)系统存在解序列{um*},即泛函φ的临界点序列,使得当m →∞时,φ(um*)→-∞.本章结果是将Hamilton系统的结论推广到椭圆系统.第三章,讨论了一类带权非线性椭圆系统:其中0∈Ω(?)RN(N≥ 3)是有界光滑区域,0≤a0,δ>0,11 满足 α +β=p*,p*=pN/N-p(1+a-b)称为Sobolev临界指数.本章利用Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和变分法在Nehari流形上进行了讨论,得到如下主要定理:定理3.1.1存在A*>0,使得当λp/p-q+δp/p-q∈(0,A*)时,系统至少有cat(Ω)+1个正解.本章的结论是带权非线性椭圆系统在Nehari流形上得到的一个新的结果.