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Sobolev不等式又称为Sobolev嵌入不等式，在偏微分方程和变分学中起着重要的作用。本文考虑如下Sobolev嵌入不等式，Hardy-Sobolev不等式以及Caffarelli-Nirenberg-Sobolev不等式。
借助于已有的文献，本文对上述几类不等式中的最佳达到函数的存在性及其性质进行了系统的阐述和总结：利用球面对称重排（又称为施瓦兹对称重排）或平移平面法证明了达到函数的径向对称性，并通过极坐标变换（或傅利叶变换法）得到了达到函数以及最佳常数的具体表达式，更进一步得到了其对应偏微分方程的解。在讨论偏微分方程的解的存在性时，常常用到山路引理，而达到函数就常常用在验证（PS）c条件上。在本文的最后，将举例说明达到函数的应用。