【摘 要】
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由于希尔伯特第16问题在现代数学和现实生活中都有着重要的理论和现实意义,因此世界各地数学家对它的研究从未间断,并且取得了一些相应的进展.在1977年,V.I.Arnold提出了弱化的希尔伯特第16问题,此后对于它的研究成为当今微分方程领域中的热门课题之一.在此学术背景下,本文以定性分析理论为基础,通过应用两种不同的研究方法,探讨了在不同多项式扰动情况下的一类二次可逆系统和一类五次系统的极限环问题.
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由于希尔伯特第16问题在现代数学和现实生活中都有着重要的理论和现实意义,因此世界各地数学家对它的研究从未间断,并且取得了一些相应的进展.在1977年,V.I.Arnold提出了弱化的希尔伯特第16问题,此后对于它的研究成为当今微分方程领域中的热门课题之一.在此学术背景下,本文以定性分析理论为基础,通过应用两种不同的研究方法,探讨了在不同多项式扰动情况下的一类二次可逆系统和一类五次系统的极限环问题.当扰动多项式次数为n时,通过应用Picard-Fuchs方程法和Riccati方程法相结合,对一类二次可逆系统极限环个数的上界进行了研究.首先对此二次可逆系统的Hamilton函数进行数值变换得到标准形式,进一步运用Picard-Fuchs方程法及Riccati方程法得到Abel积分的相关表示,最后通过应用相关定理对Abel积分零点个数的上界进行估计,从而可以得到此系统极限环个数的上界;当扰动多项式次数为5时,通过应用判定函数方法与数值探测方法相结合,对一类五次系统的极限环个数和位置进行了研究.首先根据判定函数的相关定义给出此系统的判定函数,然后通过对判定函数进行赋值可以得到极限环的个数,最后运用数值模拟的方法找出极限环的位置.研究结果表明:当扰动多项式次数较高或者为n时,可以应用Picard-Fuchs方程法和Riccati方程法对Abel积分零点个数的上界进行估计.当扰动多项式次数较低时,可以应用判定函数方法和数值探测方法对极限环的个数与位置进行研究.当扰动多项式次数为n(n≥5)时,一类二次可逆系统的Abel积分零点个数上界为7n-12,即当n≥5时,此二次可逆系统极限环个数的上界为7n-12.当多项式扰动次数为5并且其中含有4个任意参数时,一类五次系统存在5个极限环,并且通过应用计算机的相关模拟软件找出了5个极限环的位置.
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