【摘 要】
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对溶质运移的研究主要探讨各类溶质在土壤及地下水中的运动现象及规律机理.在诸多溶质中,污染物溶质的运移对世界可持续发展造成严重威胁.用数学模型量化描述其在多孔介质中的时空分布和迁移规律可以为污染的控制与修复提供理论依据.近些年来,分数阶微积分由于其所具有的遗传性或者记忆性,被广泛应用于描述复杂介质特别是多孔介质中的反常扩散现象.本文基于分数阶动力学从经典的两区模型中建立了分数阶动水-不动水两区模型,
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对溶质运移的研究主要探讨各类溶质在土壤及地下水中的运动现象及规律机理.在诸多溶质中,污染物溶质的运移对世界可持续发展造成严重威胁.用数学模型量化描述其在多孔介质中的时空分布和迁移规律可以为污染的控制与修复提供理论依据.近些年来,分数阶微积分由于其所具有的遗传性或者记忆性,被广泛应用于描述复杂介质特别是多孔介质中的反常扩散现象.本文基于分数阶动力学从经典的两区模型中建立了分数阶动水-不动水两区模型,并致力于两类溶质运移模型的求解和相关反问题的研究,具体工作包括以下内容:1.考虑了一类整数阶-分数阶动水-不动水运移模型.首先通过在不动水区域引入分数阶导数,得到了耦合的整数阶-分数阶反应扩散方程组.其次给出正问题解的存在唯一性,进一步探讨正问题的数值求解,构建隐式差分格式并对格式的稳定性与收敛性进行分析.数值实验结果显示数值解能够很好地逼近精确解.相关研究结果整理于第三章.2.考虑了模型的反源问题与模型参数识别反问题.首先运用边界泛函方法探讨由Dirichlet与Neumann边界数据确定两个区域时空相关型源项的反问题,给出反演算法和数值反演算例.数值反演结果表明了该方法有效性与稳定性,这是第四章的主要内容.其次探讨由内点观测数据识别上述模型中的衰减系数与微分阶数.给出反问题解的存在唯一性,为反演算法的构建提供了理论基础.数值上,采用同伦正则化算法,从优化的角度出发将原问题转化为价值泛函的极小问题.数值结果表明,该算法具有很高反演精度同时具有一定的数值稳定性.相关研究结果整理于第五章.3.考虑另一类模型,即在两个区域同时考虑分数阶动力学行为得到分数阶的动水-不动水模型.在第六章给出了两个分数阶的动水-不动水模型正问题解的唯一性与数值求解,构建差分格式并证明了该差分格式稳定性与收敛性.进一步研究了不同模型参数下的溶质运移行为.4.最后考虑分数阶两区模型的微分阶数识别反问题.探讨由动水区域内点观测数据对两个微分阶数的联合反演.首先理论上运用Laplace变换与椭圆方程极值原理给出反问题解的存在唯一性.其次在数值上,应用同伦正则化算法在理论唯一性结果基础上进行数值重建模拟.数值结果表明,该反演算法对于此类参数识别反问题具有一定的数值反演精度.相关研究结果整理于第七章.
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