【摘 要】
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大数据时代,张量得到极大应用,张量的有效表示逐渐成为研究热点。由于张量的“维数诅咒”,高阶张量分解在存储和计算成本上面临着极大的挑战。张量的Tensor Train（TT）分解已发展成为一种非常有效的张量表示,并且现已有稳定的TT分解算法。本文主要研究TT分解算法的加速方法。本文具体工作如下:（1）给出了σ--重排的定义,并理论上证明了σ--重排后的张量在TT形式下的基本运算仍然成立,如果运算结果
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大数据时代,张量得到极大应用,张量的有效表示逐渐成为研究热点。由于张量的“维数诅咒”,高阶张量分解在存储和计算成本上面临着极大的挑战。张量的Tensor Train（TT）分解已发展成为一种非常有效的张量表示,并且现已有稳定的TT分解算法。本文主要研究TT分解算法的加速方法。本文具体工作如下:（1）给出了σ--重排的定义,并理论上证明了σ--重排后的张量在TT形式下的基本运算仍然成立,如果运算结果是张量,则只需对结果进行σ--重排的逆操作即可。基于此结论,本文探讨了张量的不同σ--重排对TT分解运算成本的影响,发现满秩情况下按一定规律对张量进行重排后,TT分解的运算成本更低。数值结果表明,按此规律重排后,张量TT分解所需的时间确实要少很多。（2）考虑到满秩情况下张量TT分解过程中奇异值分解的特点,并结合分层结构,提出了一种新的分解策略:按总维度从中间展开进行TT分解,然后再对保留的两个矩阵分别沿不同方向从右至左和从左至右进行TT分解。该策略可以有效降低TT分解的运算量,同时也适合并行处理。理论分析和数值算例都验证了该分解策略具有较高的计算效率。
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