【摘 要】
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近年来,受实际问题的驱动,时间分数阶扩散方程（TFDEs）引起了广泛的关注.关于TFDEs正问题的研究已经取得了很大的进展,然而对TFDEs反问题的研究,包括理论分析和数值计算都还处于初级阶段.鉴于以上现状,本文主要考虑TFDEs中的以下几类反问题.第一部分考虑了一类TFDEs中依赖空间变元的源项识别问题.我们主要考察高维空间一般有界性区域上由边界数据反演源项的唯一性.首先我们利用分离变量法证明了
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近年来,受实际问题的驱动,时间分数阶扩散方程（TFDEs）引起了广泛的关注.关于TFDEs正问题的研究已经取得了很大的进展,然而对TFDEs反问题的研究,包括理论分析和数值计算都还处于初级阶段.鉴于以上现状,本文主要考虑TFDEs中的以下几类反问题.第一部分考虑了一类TFDEs中依赖空间变元的源项识别问题.我们主要考察高维空间一般有界性区域上由边界数据反演源项的唯一性.首先我们利用分离变量法证明了正问题弱解的存在唯一性,其次利用Laplace变换,证明了反源问题的唯一性.第二部分考虑了一类TFDEs中仅依赖空间变元的零阶项系数辨识问题.我们主要考察在一维情形下由边界数据反演零阶项系数的唯一性及数值算法,这是一个非线性反问题.首先我们定义了正问题两种类型的弱解,并证明其存在唯一性.其次通过Laplace变换和Gel’fand-Levitan理论证明了同时反演零阶项系数和分数阶阶数的唯一性.然后利用Tikhonov正则化将反演系数问题转化成一个变分问题,并得到了该变分问题解的存在性,稳定性和收敛性.最后利用共轭梯度法求解了该反问题,其数值结果表明我们的方法是有效的.第三部分考虑了一类多项时间分数阶扩散方程（MTFDEs）中依赖空间变元的源项识别问题.这是第一部分的一个推广.我们主要考察在高维空间由边界数据反演源项的唯一性.首先我们利用变分的方法导出正问题的一个弱形式,并由Lax-Milgram定理证明了该弱形式解的存在唯一性,其次利用Laplace变换和多项Mittag-Leffler函数的相关性质,获得了反源问题的唯一性.第四部分考虑了一类MTFDEs中仅依赖空间变元的零阶项系数和分数阶阶数辨识问题,这是第二部分的一个推广.我们主要考察了一维情形下由边界数据同时反演零阶项系数和分数阶阶数的唯一性和数值重构.首先我们给出了正问题的一个弱形式,并证明其弱解的存在唯一性.其次通过Laplace变换和Gel’fand-Levitan理论和解析延拓技巧证明了反问题的唯一性.然后利用Tikhonov正则化将该反问题转化成一个变分问题,并用交替迭代方法求解了该变分问题.借助于灵敏度问题和共轭问题,我们导出了求解零阶项系数的共轭梯度算法,并用最佳慑动算法求解了分数阶阶数,数值结果表明我们的算法是有效的.第五部分考虑了一类时间分数阶对流-扩散方程（TFCDE）中依赖时间变元的对流项系数识别问题,这同样也是一个非线性的反问题.我们主要考察了一维情形中由内部点测量数据反演对流项系数的某种稳定性和数值重构.首先我们利用不动点定理证明了对应正问题解的存在唯一性和正则性.然后基于正问题解的正则性和广义的Gronwall不等式,我们得到了反演对流项系数问题的稳定性.最后利用带有Sigmoid型函数的正则化参数的最佳慑动算法求解了该反系数问题,数值算例表明我们的算法是有效的.
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