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随着科学技术的发展,各个非线性学科系统中涌现出了大量新的非线性演化方程,或者一些著名的非线性演化方程从一些新的领域中出现。以物理问题为背景的非线性演化方程的研究是当代非线性科学的一个重要研究方向,创造和发展非线性演化方程的求解方法是非线性数学物理问题中最为前沿的研究课题之一。 近年来,已发展了许多求解非线性演化方程的方法。尤其是数学机械化的不断发展,符号计算日益完善,更是揭开了非线性演化方程求解的新篇章,出现了许多新成果。本文在收集整理各类非线性系统中出现的225个非线性演化方程的基础上,对新近发展起来的一些求近似解和精确解的方法进行了改进和拓展,并将其运用于新的领域,获得了一些有意义的结果。 在近似解方法方面,所做的主要工作有:1.用基于Lie群变换的自相似解方法求解了Gardner方程。2.利用约化摄动法对Schr(o|¨)dinger(NLS)方程进行了分析。3.用幂级数展开法研究了具有两种温度绝热离子的冷尘埃等离子体体系的集体行为。4.利用等价粒子方法研究了非平面尘埃等离子体中的尘埃声波,在导出柱和球Korteweg-de Vries(KdV)方程的基础上,得到了柱和球KdV方程的绝热近似解(也包括KdV方程的精确解)。 在精确解方法方面,所做的主要工作有:1.对Liu和Yan提出的Jacobi椭圆函数展开法和扩展的Jacobi椭圆函数展开法进行了扩展和改进,从而能更加便利地利用符号计算获得一些非线性演化方程(如modified Benjamin-Bona-Mahong(mBBM)方程、Gardner方程、Ito型5阶mKdV方程、3+1维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程)的更多周期解(包括各种孤波解)。2.对基于Lamé函数和Jacobi椭圆函数展开法以获取非线性演化方程多级精确解的方法进行了推广,求得了一类非线性演化方程(如NLS方程、Zakharov方程)的多级包络周期解及其孤波解,并将其运用到2+1维Zakharov-Kuznetsov(ZK)和mZK方程,得到了它们的一系列新解。 以上方法在非线性演化方程的求解中具有普适性。