【摘 要】
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在运筹学、控制论、科学计算与工程技术等领域中,通常需要求解一类大规模稀疏的鞍点问题.由于这类问题具有规模巨大、病态严重等特征,其求解会面临耗时多、存储空间大和计算复杂度高等困难.因此,建立耗时短、计算量小且数值稳定的算法是解决这些困难的关键.而迭代法具有保持矩阵的稀疏性、节省内存开销、易于编程实现等优点,所以研究求解鞍点问题的迭代法越来越受到广泛关注.众所周知,收敛性和收敛速度是算法应用的理论依据
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在运筹学、控制论、科学计算与工程技术等领域中,通常需要求解一类大规模稀疏的鞍点问题.由于这类问题具有规模巨大、病态严重等特征,其求解会面临耗时多、存储空间大和计算复杂度高等困难.因此,建立耗时短、计算量小且数值稳定的算法是解决这些困难的关键.而迭代法具有保持矩阵的稀疏性、节省内存开销、易于编程实现等优点,所以研究求解鞍点问题的迭代法越来越受到广泛关注.众所周知,收敛性和收敛速度是算法应用的理论依据和前提.因此,为改善收敛性和加快收敛速度,本文依据鞍点问题的特殊结构,基于Uzawa法、MHSS法、AOR法、广义Skew-Hermitian三角分裂（GSTS）法及上下三角（ULT）分裂法和预处理技术.提出了求解鞍点问题的五种迭代法.并深入分析了其预处理矩阵的谱性质,获得了它们的收敛条件和收敛性定理.主要工作如下:1.基于经典Uzawa法和AOR法,提出了求解奇异鞍点问题的Uzawa-AOR法.讨论了所提方法的半收敛条件,获得了半收敛性定理,并进行了严格的证明.分析了Uzawa-AOR法的预处理矩阵的特征值分布.用数值实验说明Uzawa-AOR法的可行性和有效性.2.基于矩阵分裂的预处理HSS（PHSS）法,提出了求解一类具有特殊结构的鞍点问题的广义松弛预处理修正加速HSS（PMAHSS）法.该方法首先用加速修正技术改进了PHSS法.其次,用预处理子构造技巧,构造了新的预处理子.最后,用矩阵理论知识.分析了所提方法的收敛性.用数值实验说明广义松弛PMAHSS法可行有效.3.基于经典Uzawa法和MHSS法,提出了求解一类复奇异鞍点问题的Uzawa-MHSS法.讨论了所提方法的收敛条件,获得并证明了其半收敛性定理.深入研究了 Uzawa-MHSS法的预处理矩阵的特征值分布.用数值实验说明Uzawa-MHSS法快速有效.4.基于经典Uzawa法和GSTS法,提出了求解一类复奇异鞍点问题的GSTS-Uzawa法.分析了 GSTS-Uzawa法的半收敛条件,获得并严格证明了其半收敛性定理.分析了 GSTS-Uzawa法的预处理矩阵的谱性质.将其预处理子应用于GMRES法求解过程的每一步中,获得了很好的收敛效果.用数值实验说明GSTS-Uzawa法的可行性和有效性.5.基于ULT分裂法和修正加速技术,提出了求解一类广义鞍点问题的修正ULT（MULT）分裂法,并将其推广到一般的情形,从而拓展了 ULT分裂法的适用范围.获得并严格证明了所提方法的收敛性定理.在适当的条件下,给出了所提方法的最优参数和最优收敛因子的表达式.用数值实验说明所提方法的可行性和有效性.
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