论文部分内容阅读
Hayman猜想问题自上世纪50年代提出，已有60余年，在此期间，国内外组许多专家学者对这类问题进行进行了全面的研究，并将其推广到p-adic域上，考虑p-adic域上的超越亚纯函数的Hayman猜想问题.在p-adic域上这一猜想是否能成立呢？2008年Ojeda验证了这一结论，得出f+Tfm有无穷多个零点不是f的零点. 本文分为三个部分，结构如下: 第一章对Hayman猜想进行了简单的描述，总结该问题的一些重要进展，简要列出p-adic域上的Nevanlinna理论及p-adic域上超越亚纯函数的一些基本定义与性质. 第二章主要研究了p-adic域上的Hayman问题，将Ojeda理论进行推广，考虑高阶导的情况，得到以下结论: 定理1设f∈M(κ)为超越亚纯函数，deg(A)≥deg(B).对于正整数k≠1，和m，如果m＞k，limr→+∞sup|f|(r)＞0，且f的零点重数至少为k，则f(k)+Tfm有无穷多个零点不是f的零点. 定理2设f∈M(κ)为超越亚纯函数，deg(A)≥deg(B).如果f有有限个极点，且f的零点的重数不小于k，则对任意正整数k≠1，m＞k，f(k)+Tfm有无穷多个零点不是f的零点.其次考虑f在圆盘内的情况，得到 定理3设f∈Mu（d（0，R-））为超越亚纯函数，deg(A)≥deg(B).对于正整数k≠1，和m，如果m＞k，limr→Rsup|f|(r)=+∞，且f的零点重数至少为k，则f(k)+Tfm有无穷多个零点不是f的零点. 其次考虑微分多项式L(f)=a0f+a1f+a2f"+…+akf(k)得到L(f)仍有无穷多个零点不是f的零点. 第三章考虑微分多项式L(f)=k∑i=0aif(i)得到: 定理4:设f为超越亚纯函数，如果a0，a1，…，ak，k≥1，ak≠0，且ak为常数，则a0f+a1f+…+akf(k)有无穷多个零点不是f的零点.