【摘 要】
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在求解微分方程和线性方程组时,变量数目增大会导致问题的复杂度陡增.目前的研究中,用低秩张量方法来表示大规模向量和矩阵是一种有效的措施.张量列(tensor train,TT)分解和
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在求解微分方程和线性方程组时,变量数目增大会导致问题的复杂度陡增.目前的研究中,用低秩张量方法来表示大规模向量和矩阵是一种有效的措施.张量列(tensor train,TT)分解和量子化张量列(quantized tensor train, QTT)分解在各种低秩分解中拥有明显的优势,既稳定高效,又在较大程度上缓解了“维数灾难”.本文将TT/QTT分解应用到双调和算子的低秩显式表示,以及双调和方程与薛定谔方程的计算.后者的主要步骤是先对原微分方程进行离散,然后用TT/QTT形式表示方程,再将解方程问题转化为优化问题,利用类交替线性格式(alternating linear scheme, ALS)方法进行求解.在类ALS方法中,密度矩阵重整化群(density matrix renormalization group,DMRG)和交替极小能量(alternating minimal energy, AMEn)方法改良了原来的ALS方法,拓宽了该方法的适用范围.针对以上两类问题,本文主要做出了以下结果：·证明了双调和算子的二阶等距差分离散矩阵拥有低秩TT和QTT形式,其秩跟维数以及每一维的网格点数无关；·针对氢原子在激光场下的演化问题,利用时空同时离散,构造TT/QTT形式的全局系统Ax=b以表示薛定谔方程；·分别利用DMRG法和AMEn法计算双调和方程和薛定谔方程,通过数值结果,说明低秩TT/QTT形式能使这些问题高效解决.
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