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代换的研究可以追溯到Thue在1906年的工作，他引入了一个由代换生成的序列（现称为Thue-Morse序列），之后更多的研究者对这一领域产生了浓厚兴趣，从不同的角度对该序列进行了研究和推广，准晶被D．Schechtman发现之后，产生了关于周期性结构的相关研究．但是在非周期系统的研究还是较少的．许多研究者致力于研究在有限字母表上生成的代换序列所产生的自动链的非周期特性．由于迹映射与代换存在密切联系，是这些研究中的一个有力工具．
近几十年人们发现代换序列的重要性，联系着数论，分形几何，调和分析，组合分析和形式语言，并广泛地应用在物理学和计算机科学上．本文中研究的是多项恒等式在矩阵环中的性质和在SL2(C)上的自由群产生的映射在物理学或者几何学上的相关性质，提供简单的关于迹在递归关系和构造关系的相关算法，也称为迹映射．
主要介绍目前代换动力系统在有限字母表上的部分研究结果，探讨在有限字母表上的代换动力系统的性质，已知a是两个字母的代换，则存在唯一的Φσ是对应于σ的多项式迹映射，它的存在性已经被J.-P.Allouche和J．Peyriere证明，本文主要研究在Ω={(x，y，z)∈R3,X2+y2+z2-xyz-4=0}上的Φ<,σ>的渐进性，并详细地介绍Φσ迭代性和动力形态，比如不变集，不动点，周期轨道和无序性等．
研究Φσ的性质主要依靠将Ω的差分为三个不可约分支上的性质．它们被代换σ的置换矩阵Mσ所决定，并给出三个具体代换验证在曲面Ω差分部分的动力形态．