分析转移矩阵方法是一种求解波动方程的常用方法。由于薛定谔方程和波动方程中的相似性，所以可把分析转移矩阵方法运用到粒子在势场中的运动。我们实验室在提出波函数的等效衰减系数概念的基础上，导出了精确的色散方程和描述散射子波位相贡献的表达式，同时指出转折点处的位相损失是π，而不是WKB近似及其改进方法认为的π/2或其它数值。 随着近几年微纳米测量技术的发展，我们目前已经可以对纳米材料不同的组成结构进行研究。因此，电子如今能够被约束在能与deBroglie波长相比拟的尺度内。这种电子全空间的被限制在这么小的尺度内运动的系统就是我们所说的量子点(QD)。本文首次运用分析转移矩阵理论来解决二维和三维量子点问题，同时我们还用这种方法得到了受约束氢原子和Hulthén势阱中的临界半径和偶极化率。 量子力学预言的电子和其他微观粒子隧道贯穿(简称隧穿)势垒的现象是粒子波动性最引人注目的表现之一。处理实际隧穿问题主要就是要得到势垒透射几率。随着放射性射线的发展，科学家对原子结构和原子核反应的研究进入了一个崭新的阶段。相互作用原子的内在自由度的相对运动影响着在能量低于Coulomb势垒高度或者在势垒高度附近的重离子核聚变反应截面。如果把内在自由度作为坐标轴，核反应截面就可以用近似的方法求得。而且此时内在自由度是简并的，各态之间的耦合就产生了核反应多频势垒的分布。本文利用分析转移矩阵方法得到了精确的适用任何势垒的透射几率表示式，而WKB近似无法得到这样的结果。并用它来描述各个势垒的分布情况，为原子物理中求解核聚变反应截面提供了一个计算简单，行之有效的方法。 近年来由于对超冷原子研究的逐渐升温，人们把注意力转向那些低速低能粒子的量子效应。量子反射就是这种情况下的一种量子效应。一般的反射都是发生在转折点处，但是本文所提到的量子反射有两种情况：一种情况是发生在势阱经典允许区域而且还没有到达转折点处；另外一种情况是发生在高于势垒以上区域。在入射能量高于势垒高度的时候，我们发现分析转移矩阵方法能够求解入射能量高于势垒高度时候的透射几率，而半经典理论WKB在这种情况是无能为力的。由此开始研究Sech2势垒和斜面势垒的反射系数和反射时间，正是因为发生量子反射，反射系数不是突变到0，而是中间有一个渐变的过程。对于势阱内的量子反射，我们做了初步调研，主要考察了两个极端情况的势阱：原子到界面的距离r→0和r→∞。发现反射率r与波矢k在后k→0时呈线性关系而且此时反射系数R=1。我们由此得到一个重要结论量子反射有利于超冷原子的存在。