【摘 要】
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设μ为Rd上具有紧支撑的Borel概率测度.如果存在集合Λ使得指数函数族{e2πi:λ ∈ Λ}为L2（μ）的规范正交基,则称μ为谱测度,集合Λ为测度μ的谱.随着谱测度理论的不断发展,与其相关的问题已经成为分形几何与调和分析交叉研究的热点课题之一.本学位论文的主要内容分为两个主题:一是研究自相似测度的谱性;二是研究一类Moran谱测度的谱结构,即刻画其不同类型的谱（其中平移所得的谱视为同
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设μ为Rd上具有紧支撑的Borel概率测度.如果存在集合Λ使得指数函数族{e2πi<λ,χ>:λ ∈ Λ}为L2（μ）的规范正交基,则称μ为谱测度,集合Λ为测度μ的谱.随着谱测度理论的不断发展,与其相关的问题已经成为分形几何与调和分析交叉研究的热点课题之一.本学位论文的主要内容分为两个主题:一是研究自相似测度的谱性;二是研究一类Moran谱测度的谱结构,即刻画其不同类型的谱（其中平移所得的谱视为同一个谱）.第一章,我们介绍研究背景,研究动机和主要结果;第二章,我们给出本文所需的基础知识和工具.本文的核心内容是第三章到第五章,简单介绍如下:在第三章中,我们研究自相似测度的谱性.至今为止,所有已知的工作都对生成自相似测度的数字集要求严格（数字集的势≤ 4,连续数字集或者满足和谐对条件）,并且绝大部分为充分条件.为克服对数字集的限制,我们的切入点是限制其上符号函数的零点集,进而得到一个自相似测度为谱测度的必要条件.这是在研究Laba-Wang猜想时取得的实质性进展.在特定条件下（包含所有已知情形）,我们证明,和谐对条件是自相似谱测度的充分必要条件.值得说明的是,所给的特定条件是不可改进的.在第四章中,我们考虑的是由固定压缩比t-1以及乘积形式的数字集D生成的自相似测度μt,D.借助于tile与谱测度的联系,我们给出测度μt,D为谱测度的完整刻画.在此之前,仅有连续数字集（Bernoulli卷积）与含有三个元素组成的数字集生成的自相似测度的谱性得到完整的刻画.在第五章中,我们主要研究一类Moran谱测度（包含自相似情形）的谱结构问题.确切的说,研究由整数序列{pn}和含有三个元素数字集序列{Dn}生成的Moran谱测度.我们完整地刻画了其所有极大正交集并给出了极大正交集为谱的一些充分条件.在第六章中,我们给出一些有待进一步研究的问题.
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