自动机理论是研究离散数字系统的功能、结构及其两者关系的数学理论.它旨在研究自动机的分析与综合问题.随着现代科学技术的发展,尤其是计算机科学对基础理论的要求,自动机理论已成为许多学科的重要理论和应用基础. 本文简单介绍了国内外学者利用数学工具对群自动机理论进行研究得到的一些结果,对有限群自动机的结构、代数性质和状态进行了研究,同时也对有限群自动机的构造和分解进行讨论,并且对广义状态机、有限半群自动机和双有限群自动机作了简单的介绍. 本文采用了环论、模论和图论中的方法来研究有限群自动机,得到了一些结果.从整体上来看,本文提供了进一步研究有限群自动机的一些思路. 本文内容分为三个部分,每个部分为一章. 第一章是引言.这部分简单介绍了国内外学者利用数学工具对群自动机进行研究的一些内容,并给出了有限群自动机的基本概念和记号. 第二章是关于有限群自动机的构造和分解的研究,同时给出了有限群自动机极小性和忠实性的判别法则.主要结果： 定理2.2.2设是有限群自动机, 且是映射,满足 ,其中 ,定义如下: ,则是有限群自动机,称是的串积. 定理2.3.1设是有限群自动机,则是极小的充分必要条件为若 , , 为的单位元,则 . 定理2.3.3 设是双有限群自动机,则是极小的充分必要条件为对于若分别为的单位元,则 . 定理2.3.5 设是有限群自动机, 是的单位元,则是忠实的充分必要条件为对于 ,若 ,则 . 定理2.3.9 设是双有限群自动机,则是忠实的充分必要条件为若 ,对于分别为的单位元,则 , . 定理2.4.1设是有限群自动机,且 ,则下列条件彼此等价: (1) 是不可约的. (2) . (3) 是连接的. (4) 不存在真稳定子集. 定理2.4.2 设是幺式有限群自动机,且 ,则是不可约的当且仅当都是不可约的. 定理2.4.3 设是有限群自动机, ,则是不可分的充分必要条件为是弱连通的. 定理2.4.4 设是有限群自动机,且 ,则可以分解为一些不可分的有限群自动机的并. 定理2.4.5 设是幺式有限群自动机,则下列条件彼此等价: (1) 是连通的. (2) 是连接的. (3) 是弱连通的. 第三章是关联环和群的单位元在有限群自动机研究中的应用. 主要结果： 定理3.2.1 设是有限群自动机, 是的单位元,则的充分必要条件为 . 定理3.2.2 设是有限群自动机, 是的单位元,则的充分必要条件为使得 ,且 . 定理3.2.3 设是有限群自动机, 是的单位元,若 ,则定理3.2.4设是有限群自动机, 是的单位元,若则存在使得 . 定理3.2.5设是有限群自动机, 是单位元群,若 ,则或或 ,其中 . 定理3.2.6 设是有限群自动机, , 是的单位元,若 ,则 , . 定理3.2.7 设是有限群自动机, ,若 ,则或或或或或 ,其中 ,且互不相同. 定理3.2.8 设是有限群自动机,若 ,则或或 . 定理3.3.2 设是有限群自动机, 为的单位元,则是幂零代数的充分必要条件为 . 定理3.3.3 设是有限群自动机, ,则是无零因子环的充分必要条件为 ,且使得。