分数阶方程是在研究物质在复杂系统传输过程中所出现的反常扩散及非指数模式时所出现的一类微分方程。近些年来，研究表明，分数阶方程能更准确地描述包含自然科学、数学、工程、生物科学以及经济等在内的各学科领域中的许多现象。　　本文旨在研究分数阶方程的数值解。分数阶算子的全局性使得传统的局部算法，比如差分法和有限元法，失去了其在求解整数阶方程中的优势，而谱方法作为全局性算法，其所存在的主要缺点对于求解分数阶方程而言将不复存在，且谱方法的另一个优点是其能更自然的处理分数阶算子中的奇异核函数。本文的主要目的就是研究分数阶方程的高效及高阶谱方法。具体内容如下:　　第一章，推导了描述多孔介质中溶质反常扩散的分数阶扩散方程，概述了分数阶扩散方程解析解与数值解方面的研究现状，陈述了谱方法在分数阶扩散方程数值解研究中的优势与难点，并对所提难点给出了相应对策，随之列出了本文的研究内容及主要学术贡献，最后将本文所需的预备知识予以了简介。　　第二章，给出了守恒型与非守恒型高维变系数分数阶椭圆方程的高效算法，该算法是整数阶微分方程高效谱方法的推广。具体来说，也就是对系数可分问题采用矩阵分解，即离散分离变量法，而对系数不可分问题采用预处理CG或BICGSTAB迭代法，预处理子所采用的是适当的常系数分数阶椭圆算子，且该算子可用可分问题的快速解法求解。该算法的计算量为O(Nd+1)，其中d为空间维数。我们严格推导了该算法的带权误差估计，针对解在边界具有奇性的问题，该误差估计能提供更为准确的收敛阶数。我们还列出了大量的数值结果来验证所给算法与误差估计。　　第三章，讨论了两类带不同边界条件的Riesz型分数阶微分方程的Petrov-Galerkin谱逼近。利用广义Jacobi函数与Riesz分数阶微积分之间的谱关系，对带齐次Dirichlet边界的分数阶微分方程，以一类特别的广义Jacobi函数构造解空间来逼近方程的解，同时还讨论了这类函数的相关性质。而对于带积分边界条件的分数阶微分方程，将其化为等价的整数阶方程，通过所得整数阶方程的解再重构分数阶方程的解。这两类算法都可以生成具有稀疏结构的线性系统，严格推导了其在非一致带权Sobolev空间的最优误差估计，并给出了数值试验予以验证。　　第四章，研究了空间分数阶微分方程的Petrov-Galerkin谱逼近。一般谱Galerkin方法的收敛速度与方程解的正则度息息相关，而分数阶微分方程的解在边界上的正则度很低。因此，为了给出合适的谱方法，我们研究了不同类似的分数阶微分方程的解析解及其特征。具体就是，对左Riemann-Liouville或Riesz型分数阶椭圆方程，我们推导了其解析解的级数表达式，并给出了带两边分数阶导数方程的最低正则度的一个猜测。通过这些分析，我们对不同类型的分数阶方程，给出了解空间不同的Petrov-Galerkin谱离散。所给出的大量数值结果也验证了推导。　　第五章，提出了分数阶微分方程基于几何网格的h-p离散。上一章中所给的算法只能处理一些特殊方程或是只有代数精度，为了能给出一般分数阶微分方程的高精度谱方法，提出了一种基于几何网格的谱元法。首先严格推导了带左边分数阶导数方程的谱元法误差估计，该误差估计是关于√N指数收敛的，其中N为离散方法的自由度。其次，对带左边和两边分数阶导数的方程，分别采用了两种不同的几何网格进行求解，得出了一系列的数值结果，这些数值结果也都是关于√N具有谱精度的。　　第六章，主要对两类带非局部项水波模型的衰减性质进行了数值研究，第一类模型是具有时间非局部粘性项的KdV型方程:ut+ ux+βuxxx+√v/√π∫t0ut(s)/√t-sds+uux=vuxx另一类为空间非局部粘性扩散-色散的Kakutani-Matsuuchi模型:ut-βutxx+v(D1/2+F-1(i|ζ|1/2sign(ζ)(u)(ζ))+γuux=0.对该两类水波模型的离散，在空间上采用傅里叶变换，而在时间上，则结合半隐式格式的计算方便性与谱缺陷校正法的高阶性质，采用半隐式谱缺陷校正法。通过一系列的数值试验，研究了模型中粘性项、几何色散项、非线性项以及计算区域大小等对水波衰减性质的影响。