分数阶扩散方程的相关研究源自对一类具有长程相关性和历史相关性记忆效应的反常扩散现象的建模,在许多应用科学领域都有广泛的实际应用,例如多孔系统模型、粘性流体力学、湍流扩散、量子光学等,因此与之相关的正反问题的研究就显得尤为重要且具有理论和实际应用的广泛前景.但是由于分数阶微分一般不满足经典微分的Leibniz公式、分部积分、链式法则、半群性质等,给分数阶微分方程的研究带来很大困难.近年来,对于分数阶扩散方程正问题的研究已有丰富的结果,然而反问题的研究正处于起步阶段,集中在反问题的若干正则化理论及数值方法.对于在反问题理论及数值中有重要意义的反问题的条件稳定性只有Cauchy问题及反演零阶项系数的条件稳定性结果.本文主要讨论了通过附加数据决定时间分数阶扩散方程主部系数的条件稳定性及逆时问题的投影正则化,基于迭代正则化方法得到了主部系数的稳定反演,通过正则参数基于真解光滑性信息的先验选取和基于平衡法则的后验选取得到了正则化解的收敛性分析,数值实验说明后验选取结果优于先验选取结果且给出了真解稳定的数值反演.第一章简要介绍了分数阶扩散方程的研究背景,包括分数阶微积分的历史及发展,基于连续时间随机游动模型,引入了分数阶扩散方程,并简单介绍了分数阶扩散方程正反问题的研究现状及本文主要内容.第二章给出了本文需要的一些预备知识,简单介绍了反问题及其正则化理论、C-arleman估计及其应用,并给出了分数阶微积分的一些定义,性质等.第三章通过在H4(Ω)空间引入新的范数,基于椭圆方程的正则性及时间分数阶扩散方程特征展开得到的解的解析表达式,提高方程解的正则性至H1(δ0,T; H2(Ω)∩ H01(Ω))L2(δ0, T; H4(Ω)∩H01(Ω))在此正则性之下,通过化分数阶方程为空间四阶的抛物方程,对一般的一维变系数时间1/2阶扩散方程给出了包含空间四阶导数项的Carleman估计.并且简单介绍了分数阶扩散方程正问题的一些基本数值方法.为识别扩散速率,即介质的非均匀性,我们在第四章考虑了一个利用附加数据确定方程二阶导数项系数的问题,基于第三章建立的一维变系数时间1/2阶扩散方程的Carleman估计,通过化分数阶方程为整数阶方程,利用两个相应的整数阶微分方程的Carleman估计,证明了由附加数据反演二阶导数项系数的局部Holder型条件稳定性.基于迭代正则化方法及第三章建立的时间分数阶扩散方程初边值问题的数值格式,我们给出了扩散系数稳定的数值反演.第五章我们考虑了时间分数阶扩散方程逆时问题,利用投影正则化方法,在精确解满足较高的先验正则性条件假设下,我们对正则化参数的先验选取方法建立了一致最优的Holder型误差估计.并且在不涉及精确解的先验正则性假设条件下,对基于平衡法则的后验正则化参数选取方法建立了同样最优的Holder型收敛阶.尽管后验正则化参数的选取不再依赖于精确解的先验信息,但通过数值结果的对比,我们发现基于平衡法则的后验参数选取结果优于先验参数选取结果,并且给出了几乎最优的反演结果,甚至在某些先验参数选取法则失效的情形下也可以给出相对准确的结果.