【摘 要】
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本文共分成四部分.第一部分是本文的引言,介绍了椭圆偏微分方程的发展及取得的成果,并引入了定理1.1和定理1.2.第二部分,我们对应给出了R2和R3中的一些预备知识.对应着介绍了微分几何学中图形及其凸性在R2和R3中的不同,然后简要叙述了函数凸水平集的概念,推导出了水平集的曲率矩阵.最后,列出了几个有关极大值原理的定理.第三部分在二维的情形下验证了椭圆偏微分方程水平集凸性的曲率估计,这部分主要运用了
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本文共分成四部分.第一部分是本文的引言,介绍了椭圆偏微分方程的发展及取得的成果,并引入了定理1.1和定理1.2.第二部分,我们对应给出了R2和R3中的一些预备知识.对应着介绍了微分几何学中图形及其凸性在R2和R3中的不同,然后简要叙述了函数凸水平集的概念,推导出了水平集的曲率矩阵.最后,列出了几个有关极大值原理的定理.第三部分在二维的情形下验证了椭圆偏微分方程水平集凸性的曲率估计,这部分主要运用了极值原理来证明我们所需的结论：假设Ω为R2中的有界光滑区域,且u是椭圆方程在Ω中的一个正解.设在Ω上|▽u|≠0,而且水平集沿外法向量Vu方向是严格凸的.设K是u的水平集的曲率.则函数K的最小值在aΩ上取得.第四部分为本文的核心部分,验证在三维中偏微分方程水平集的凸性的曲率估计.基于三维中较为复杂的计算,我们做了一些准备工作,主要技巧是重组二阶和三阶导数项,以及辅助函数φ的利用,还引出了引理.来证明：设Ω是R3中的有界光滑区域,并且是椭圆方程在Ω上的一个正解.易得,f>0.其中,f∈C2（R×R3）.假设对任意的x∈Ω,有|▽u|≠0,而且u的水平集关于外法向量的水平集Vu是严格凸的.设K是u的水平集的高斯曲率则函数K在aΩ上取得极小值.
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