令Sd-1:={x=（x1,…,xd）∈Rd:x1~2+…+xd~2=1)是Rd上的单位球面,它具有Lebesgue测度dσ。我们用||f||p表示（?）,1≤p<∞;用||f||∞表示f在Sd-1上的本质上确界。于是,当1≤p<∞时,Lp≡Lp(Sd-1)={f:||f||p＜∞}是一个具有范数||·||p的线性空间;p=∞时,L∞是Sd-1上的连续函数空间C(Sd-1),它的范数为||·||∞。我们用Hld表示Sd-1上所有l次球调和多项式,用ΠNd表示Sd-1上所有次数不超过N的球面多项式,用HLd表示从L2(Sd-1)到Hld上的正交投影算子。我们已经知道Hld,l=0:1,2,…,是Laplace-Beltrami算子△的特征空间,它对应的特征值为-l（l+d-1）。给定r＞0,我们定义Sd-1上的r阶Laplace-Beltrami算子（-△）r为其中f是Sd-1上的一个分布。如果f∈Lp且存在一个函数g∈Lp使得Hld（g）=（l（l+d-1））r/2HLD（F）,那么我们称g为lp意义下f的r阶导数,并且记g=f（r）=（-△）r/2f.显然,ΠNdⅣ=（?）Hkd,N∈Z+且dim（?）。对f∈Lp,我们定义在本文中,我们想要讨论球面上广义光滑函数的逼近。首先,我们介绍一些定义和符号。令r＞0,f∈Lp,f的r阶光滑模定义为其中I=（Sh）~0表示恒等算子,（?）,且Sh表示球面平移算子,它的定义为（见[WL,p.57]）当r不是偶数时,△hr是差分算子I-Sh的分数幂。下面我们介绍ωr（f,t）p的一些性质（见[WL,p.184]和[Xu2]）:（5）ωr（f,nt）p≤cnrωr（f,t）p,其中n是正整数,c是不依赖于f.t和n的常数。下面的Jackson型不等式是球面上基本的最佳多项式逼近:f∈Wpβ(SD-1),其中C是不依赖于f,n的常数。对β=0,（1.1）式的建立经过了很多人的努力才得到（见[R],[WL,p.194,Theorem 5.1.1]和相关的引用）,而β＞0时,（1.1）式是连续模和K-泛函的等价性,β=0时（1.1）式和[Di]中定理7.2的直接结果。下面我们介绍球面上的广义光滑Besov空间BpθΩ(Sd-1。许多人在自己的文章中研究过广义光滑Besov空间,如Sun和Wang[WS],Farkas和Leopold[FL],Cobos和K（u|¨）hn[CK]。在[WS]中这种空间被定义在d维环面上,而在[FL]和[CK]中是被定义在Rd上有充分的光滑边界的非空有界域上。令l≥1是固定的正数,Ω是R+={t:t≥0)上的一个非负函数。我们称Ω（t）∈Φl*,如果它满足:（1）Ω（0）=0,且对任意的t＞0有Ω（t）＞0;（2）Ω（t）在R+上是连续的;（3）Ω（t）在R+上是几乎增的,即对任意的t,τ,0≤t≤τ,我们有Ω（t）≤CΩ（τ）,其中C≥1足不依赖于t,τ的常数;（4）对任意的n∈Z+,t＞0,有Ω（nt）≤CnlΩ（t）,其中C＞0是不依赖于n,t的常数;（5）存在α＞0使得Ω（t）/tα在R+上是几乎增的;（6）存在0＜β＜f使得Ω（t）/tβ在R+上是几乎减的,即存在C＞0使得对任意的t,τ,0＜t≤τ,有Φl*的一个典型函数是Ω（t）=tα（1+（ln1/t）+）β,α＞0,β∈R.我们还注意到几乎增和几乎减的思想来自于Bary和Stechkin[BS]。现在令Ω（t）∈Φl*。我们称f∈Bp,θΩ(Sd-1)，1≤p,θ≤∞,如果f满足下面的条件：于是Bp,θΩ是一个Banach空间，范数满足：我们用BBp,θΩ≡BBp,θΩ(Sd-1)表示Bp,θΩ(Sd-1)中的单位球。注意到当Ω（t）=tα,α＞0时,Bp,θΩ(Sd-1)与一般的Besov空间Bp,θα(Sd-1)一致。Bp,θα(Sd-1)第一次出现在[LR]中,其中还给出了这个空间的一系列等价范数。（X,||·||）是赋范线性空间,K为X的一个子集,定义n阶Kolmogorov宽度dn（K,X）为最左边的下确界取遍X的所有n维线性子空间Ln。n阶线性宽度δ（K,X）为下确界取遍X上所有秩不超过n的连续线性算子Pn。我们称一个子空间XM （?） X是M余维的,如果在X上存在M个线性独立的连续线性泛函λ1,…λM使得定义n阶Gelfand宽度dm（K,X）为下确界取遍所有余维数≤n的子空间Xn。关于Kolmogorov宽度,线性宽度和Gelfand宽度的更多信息可以见[Pin]和[LGM]中。本文的主要目的是讨论当1≤p,q≤∞,n→∞时,n阶Kolmogorov宽度dn(Bp,θΩ,Lq),n阶线性宽度δn(Bp,θΩ,Lq)以及n阶Gelfand宽度dm(Bp,θΩ,Lq)的渐进阶。我们注意到Sobolev空间BWpr(Sd-1)的n阶Kolmogorov宽度和n阶线性宽度已经在[Ka1],[Ka2],[BDS]和[BKLT]中被研究过,这些文章给出了1≤p,q≤∞,n→∞时dn(BWpr(Sd-1),Lq(Sd-1))和δn(BWpr(Sd-1),Lq(Sd-1))的最优渐进阶。Hesse,Mhaskar和Sloan在[HMS]中建立了球面上一般Besov空间中求积分的复杂性。本文的主要结果如下:定理1.令Ω（t）=tαΩ1（t）.Ω（t）,Ω1（t）∈Φl*,1≤p,q,θ≤∞.则:其中（1）λi=τi=0,i=1,2,3,p,q属于区域Ⅰ:1≤q≤p≤∞;（2）λ1=λ3=1/p-1/q,λ2=0,τ1=τ3=（1/p-1/q）（d-1）:τ2=（d-1）/2,p,q属于区域Ⅱ:1≤p≤q≤2;（3）λ1=0,λ2=λ3=1/p=1/q,τ1=（d-1）/2,τ2=τ3=（1/p-1/q）（d-1）,p,q属于区域Ⅲ:2≤p≤q≤∞;（4）λ1=1/p-1/2,λ2=1/2-1/q,λ3=max（1/p-1/2,1/2-1/q）,τ1=（d-1）/p,τ2=（1-1/q）（d-1）,τ3=2（d-1）max（1/p,1-1/q）-（d-1）,p,q属于区域Ⅳ:1≤p≤2≤q≤∞。令η∈C∞[0,∞)且χ[0,1]≤η≤χ[0,2)。我们定义算子VN,N∈N如下:其中Hkd（f）表示f到Hkd上的正交投影。然后,对f∈Lp,我们定义于是As（f）∈Π2sd,且（?）在Lp范中收敛到f。定理2.令Ω（t）∈Φl*;,1≤p,θ≤∞,l＞0.则下面的条件等价:定理3.设Ω（t）=trΩ1（t）,Ω（t）,Ω1（t）∈Φl*,r＞0.若f∈Bp,θΩ,则（-△）r/2f∈Bp,θΩ。相反地,若f（τ）=（-△）r/2f∈Bp,θΩ1,则f∈Bp,θΩ。定理4.（嵌入定理）设Ω（t）=trΩ1（t）,Ω（t）,Ω1（t）∈Φl*,1≤p＜q≤∞,1≤θ,θ1≤∞.若f∈Bp,θΩ且（?）,则f∈Bp,θ1Ω1。此外,若f∈Bp,θΩ且（?）,则f∈Lq。设φ是R上一个非负C∞-函数,支集为{x∈R:（?）≤|x|≤2)且φ满足:（?）,对所有的x≠0.这样的φ是存在的（见[NPW1]）。然后我们定义序列ψj,k（x）如下:其中且Pk（t）的定义为:其中（?）表示（?）阶超球多项式且（?）.（关于超球多项式的详细定义见[Sz,p.81]。）我们知道当f∈L(Sd-1)时,其中Hkd（f）表示f到Hkd上的正交投影。于是,对于Sd-1上的每一个分布f,存在一个级数（?）,且对每一个球面多项式P,我们有其中非零系数(P,ψj,k)的个数仅为有限个。定理5.令Ω（t）∈Φl*,l＞0,1≤p,θ≤∞。则对f∈Bp,θΩ,我们有:p=∞且/或θ=∞时改为上确界。此外,若实数序列{aj,k:j=1,2,…,k∈∧jd)满足则级数（?）在Sd-1上无条件地收敛到f∈Bp,θΩ,并且p=∞且/或θ=∞时改为上确界。