非线性泛函分析为当今数学的一个重要分支,其研究具有广泛的应用价值,其中主要包括拓扑度理论、变分方法、临界点理论、锥理论等诸多内容.这些非线性的问题主要是处理这些非线性的积分方程和微分方程.对非线性泛函分析的研究在国内外也取得了丰富的成果.1912年L.E.J.Brouwer建立了有限维空间的拓扑度(Broawer度),1934年J.Leray将这一成果推广到Banach空间的全连续场,建立了Leray-schauder度.E.Rothe,M.A.Krasnoselskii,P. H.Rabinowitz,H.Amann,K.Deimling等对非线性泛函分析及其应用也进行了深入的研究,国内张恭庆教授、郭大钧教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的研究中,取得了很多深刻的结果.他们的研究成果可以应用于控制理论、最优化理论、计算数学、经济数学等等许多领域.四阶非线性微分方程组边值问题是微分方程问题非常重要的组成部分.对它的研究有着非常重要的价值和意义,为许多学者关注,也取得了丰硕的研究成果.大多数的这些结果是通过将四阶边值问题转化成二阶边值问题,然后利用不动点指数理论、拓扑度理论、锥理论、上下解等方法得出问题的正解.近年来,对四阶非线性微分方程组边值问题尤其是正解的存在性的研究逐渐增多,但最常用的不动点指数定理有着一定的限制条件,它的适用范围有着局限性.因此,存在着许多亟待解决的问题.本文是在借鉴前人成果的基础上,将一些条件进行改进和完善,从而推广了这些结果.利用不动点指数理论,本文深入研究了几类四阶非线性微分方程组边值问题的正解的存在性,共分为四章：在第一章中,我们研究一个四阶积分方程边值问题正解的存在性,其中f∈C([0,1]×R+,R+),αi≥0,βi≥0,αi和βi是[0,1]上的严格递增函数.本文的亮点在于,方程(1.1.1)的Green函数用传统的求法比较困难.我们通过使用方程(1.1.2)中的Green函数,转化建立(1.1.1)的Green函数.然后我们使用先验估计得到相关的积分恒等式和不等式,接着使用不动点指数定理去证明方程(1.1.1)正解的存在性.在第二章中,我们研究一个四阶微分方程组边值问题正解和多重正解的存在性其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞)).本文的亮点在于,在获得先验估计中凹函数的运用,同时在获得先验估计中非负矩阵的运用,以及降阶的方法.运用文献[31]中的方法,使用建立的积分恒等式和不等式,来得出方程(1.2.1)中正解和多重正解的存在性.在第三章中,我们用不同的方法研究一个四阶边值问题正解和多重正解的存在性其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞))本章的主要困难在于在处理方程组(1.3.1)中,存在奇数阶导数,尤其是非线性项f,g.为了克服这个困难,我们采用降阶的方法,把(1.3.1)转化成一阶积分微分方程组初值问题.然后通过文献[49]中的方法,建立一些相关参数的线性积分算子,结合先验估计,使用不动点指数理论,来证明方程组(1.3.1)中正解和多重正解的存在性.在第四章中,我们研究与第三章相同的方程但是边界条件不同的方程组边值问题正解和多重正解的存在性其中f,g∈C([0,1]×R8+R+)(R+:=[0,∞))与第三章相比,本章含有不同的边值条件和一阶导数的非线性项.我们首先采用与第三章相同的降阶方法,把(1.4.1)转化成一阶积分微分方程组初值问题.然后依次得到不同边值条件相对应的积分恒等式,得到正解先验估计.本章中,矩阵理论起着重要的作用.