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本文研究了在流体力学、凝聚态物理、等离子体物理和非线性光学中有重要应用的几类非线性偏微分方程的可积性、非线性波及其相互作用解.主要开展了四方面的工作:利用经典李群方法研究了变系数非线性偏微分方程的精确解和守恒律;应用Bell多项式研究了高维非线性偏微分方程的双线性形式以及利用长波极限方法构造其非线性波;基于方程的双线性形式和三波法构造了非线性偏微分方程的多孤子解;通过Hirota双线性方法和函数拟设法构造了非线性偏微分方程的lump解及相互作用解.具体内容如下:第一章是绪论部分.详细介绍了对称理论、可积性理论和非线性波的研究背景,发展现状及相关理论,并简要叙述了本文的主要研究内容.第二章,基于经典李群方法,研究了两类变系数非线性偏微分方程.首先,通过引入合适的势变换,将(2+1)-维变系数非线性薛定谔(NLS)方程转化为变系数的耦合系统,并通过经典李对称分析得到相应的向量场和最优系统.利用相似约化,得到了四组(1+1)-维非线性偏微分方程组,并结合辅助方程方法和G’/G-展开法给出了精确解.同时,借助Ibragimov提出的新守恒定理构造了守恒律.其次,得到了(1+1)-维变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)方程的李点对称和最优系统.利用相似约化得到了五组常微分方程组,通过辅助方程方法得到了幂级数解,行波解和非行波解.第三章,通过双Bell多项式方法和Hirota双线性方法,研究了(3+1)-维B-type Kadomtsev-Petviashvili(BKP)方程的双线性形式、非线性波和相互作用解.借助Bell多项式理论得到了 BKP方程的Hirota双线性方程,通过引入变换的技巧,构造了两种类型的双线性Backlund变换和对应的Lax对.运用所得到的双线性方程,构造了 BKP方程的N-孤子解.将长波极限法作用于N-孤子解,得到了 BKP方程的呼吸子、lump波、怪波以及这些非线性波之间的相互作用解.第四章,基于Hirota双线性方法、同宿测试方法和三波法,研究了(3+1)-维非线性发展(NEE)方程和(3+1)-维BKP方程的多孤子解.通过Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 NEE方程的两种类型的扭结呼吸孤子解.利用三波法得到了NEE方程和BKP方程的多孤子解,包括扭结呼吸2-孤子解,扭结周期2-孤子解,双周期孤立波解和3-孤子解第五章,基于Hirota双线性方法和函数拟设法,研究了(3+1)-维KdV-型方程和KP-Boussinesq-like方程的呼吸子解,怪波解,lump解和相互作用解.结合Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 KdV-型方程的同宿呼吸波解,对得到的呼吸波解运用长波极限方法,得到了方程的怪波解.利用函数拟设法,得到了KdV-型方程的相互作用解,包括lump波与线孤子,扭结孤子和周期函数之间的相互作用解.同时,得到了KP-Boussinesq-like方程的lump解,lump与线孤子、扭结孤子之间的相互作用解.第六章,概述了本文的主要工作,并对将来的研究工作进行了展望.