【摘 要】
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散射理论是应用数学物理中特别活跃的领域之一,在医学成像、无损探测、地震勘探等众多领域中有着广泛的应用.散射理论的研究主要分为正散射与逆散射两个部分:正散射问题研究满足一定边界条件的Helmholtz方程或Navier方程的边值问题的适定性;逆散射问题是从散射场的远场信息或其它测量数据来反演障碍物的位置、形状、内部结构和物理参数等.在实际应用中,散射体往往是相当复杂的,本论文我们分别考虑了声波、弹性
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散射理论是应用数学物理中特别活跃的领域之一,在医学成像、无损探测、地震勘探等众多领域中有着广泛的应用.散射理论的研究主要分为正散射与逆散射两个部分:正散射问题研究满足一定边界条件的Helmholtz方程或Navier方程的边值问题的适定性;逆散射问题是从散射场的远场信息或其它测量数据来反演障碍物的位置、形状、内部结构和物理参数等.在实际应用中,散射体往往是相当复杂的,本论文我们分别考虑了声波、弹性波以及流固混合散射问题中几种不同类型的复杂散射问题.第一章介绍散射理论的基本背景.第一节介绍散射理论的研究背景及意义.第二节介绍三类散射模型,即声波、弹性波和流固混合散射问题.第三节详细列出了分解法的三种理论框架.第四节则介绍本文的主要工作及研究现状.第五节为本文的结构安排.第二章介绍散射问题中所用到的基本工具、重要定理和主要方法.第一节介绍声波Helmholtz方程和弹性波Navier方程在二维空间中基本解的具体形式及其对应的远场模式.第二节介绍散射理论中常用的Sobolev空间.第三节介绍位势理论以及单双层边界积分算子的相关性质.第四节介绍散射理论中常用的基本定理.第三章我们研究内含未知掩埋障碍物的非均匀介质与带有Dirichlet边界条件的不可穿透障碍物混合的声波散射问题.首先利用Dirichlet-to-Neumann映射,将原问题转化为与之等价的变分形式,从而应用变分法证明正散射问题的适定性.然后利用分解法研究对应的逆散射问题,最后给出数值实例说明分解法对该问题的适用性.第四章我们研究带有Neumann边界条件的不可穿透障碍物与带有Dirichlet边界条件的裂缝混合的弹性波散射问题.首先根据Betti表示定理和边界条件建立边界积分方程组,利用边界积分方程方法解决正散射问题的适定性.然后利用改进的分解法研究逆散射问题,最后由数值实验说明严格的数学理论与数值实现之间的差异性.第五章我们研究含有掩埋障碍物的流固混合散射问题.结合边界积分方程法和变分法建立了正散射问题的适定性,并利用分解法考虑了逆散射问题,重构出流体与固体交接的界面.对于内部掩埋障碍物的重构,我们证明了 Green函数与全场之间的混合交互关系,并建立了单位化算子S与内部位移场之间的恒等关系.第六章我们研究具有部分涂层边界的各向异性介质中的传输特征值问题.首先利用变分法证明了在某些特殊情况下,内传输问题的适定性.然后利用解析Fredholm定理验证了当折射指数n恒等于1时,特征值的离散性和存在性.最后考虑n不恒等于1时的情况,由T-强制法得出了在某些限定条件下特征值的离散性.
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