【摘 要】
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稀疏优化是目前最优化领域中的前沿课题.它主旨是从少量的样本中重构高维信号,在信号处理、机器学习等领域广泛应用.结构稀疏优化是稀疏优化领域的重要课题,旨在利用问题的特定结构来提升稀疏优化的能力.Peng等人在研究DNA与RNA转录调控关系问题中,发现问题不仅具有组稀疏结构,在组内也具有稀疏结构,由此衍生出双层稀疏优化并广泛应用于基因工程、光谱分析等领域.贪婪算法具有思想简单,操作方便,计算快速等优势
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稀疏优化是目前最优化领域中的前沿课题.它主旨是从少量的样本中重构高维信号,在信号处理、机器学习等领域广泛应用.结构稀疏优化是稀疏优化领域的重要课题,旨在利用问题的特定结构来提升稀疏优化的能力.Peng等人在研究DNA与RNA转录调控关系问题中,发现问题不仅具有组稀疏结构,在组内也具有稀疏结构,由此衍生出双层稀疏优化并广泛应用于基因工程、光谱分析等领域.贪婪算法具有思想简单,操作方便,计算快速等优势,是信息工程领域常用的一类方法.贪婪算法中经典的是正交匹配追踪算法（OMP）,由于它具有较低的复杂度以及较快的收敛速度等优点深受研究者喜爱.而此算法是向前贪婪算法,对于前面迭代步选错的指标集无法进行剔除操作,故张潼等人提出了自适应前向后向贪婪算法（FOBA）并给出其理论性质,为以后的贪婪算法研究奠定理论基础.基于前人的工作,本文就将上述两种算法推广到双层稀疏优化问题上,提出双层正交匹配追踪算法（BLOMP）及双层前向后向贪婪算法（BLFOBA）,并深入研究BLOMP算法的理论性质和模拟数值实验效果,本文主要贡献如下:第一,基于有些实际问题具有双层稀疏结构,本文将OMP算法推广到双层稀疏优化问题中,提出BLOMP算法解决此类问题.第二,本文对BLOMP算法进行理论性质研究.分模型无噪声和有噪声两种情形进行探讨.在无噪声时,得到了此算法在精确恢复条件下能选出正确的支撑集,即信号能精确恢复.在有噪声时,给出了算法选择出正确的支撑集的条件.同时研究了当噪声为高斯噪声时的收敛性质,给出了模型的解与真实解之间误差的上界.为此算法在工程领域的应用奠定理论基础.第三,本文将FOBA算法推广到双层稀疏优化问题上,提出BLFOBA算法,克服前向贪婪算法在选择出错误的支撑集无法进行删除操作的缺点.第四,本文模拟了两种算法的数值实验,将本文设计的算法与经典的贪婪算法OMP算法、FOBA算法、组正交匹配追踪算法（GOMP）进行比较.实验表明,在利用数据的双层稀疏结构的前提下,本文设计算法性能要优于这些算法.
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