蔡元定，福建建阳人，朱熹主要弟子之一，被朱熹视为老友。从蔡元定之父蔡发开始，建阳蔡氏家族四代共九人，著书立说，辅助朱熹理学，弘扬孔孟之道，在学术史上形成了一定的影响，被后世称为“蔡氏九儒”，其著作被后人编纂成《蔡氏九儒书》。蔡氏家族在学术上有一个特点，即一方面传承家学，一方面辅助并发扬朱熹理学。蔡氏家学注重天文、地理、象数易学、乐律、兵制等方面，在易学上特别重视邵雍的《皇极经世》，将其视为孔孟之正脉。蔡元定受父亲指导自幼研读该书，并著成《皇极经世指要》一书，成为后人了解邵雍《皇极经世》的门径。蔡元定称《皇极经世》的学问为“皇极学”，区别于以《周易》经传为本的传统易学，并试图吸收其中用数学表达易理的方法，构建自己的“范数之学”，但未及完成，将之嘱咐给三子蔡沈。蔡沈以邵雍数学方法为基础，以《洪范》为经典依据，以河图、洛书学为中介，最终著成《洪范皇极》一书，构建了“范数之学”。文章主要论述从蔡元定到蔡沈一脉相承的“皇极学”，最后发展为“范数之学”。主体分为三个部分:(1)蔡氏父子对邵雍《皇极经世》的继承与发展，这是其“范数之学”的方法论基础。蔡元定的继承，主要表现在《皇极经世指要》一书，蔡沈的继承突出表现在其“九九数图”上。(2)蔡氏父子的河图、洛书学，这是其构建“范数之学”的桥梁。蔡元定在《易学启蒙》中提出“河十洛九”说，为“九宫图”与《洪范》九畴的对应打下基础。蔡沈以此为根据，通过河图、洛书两个数阵排列的不同特点，提出“河偶洛奇”说，以河图表征阴阳对待，对应《周易》“象”的系统，以洛书表征五行流转，对应《洪范》“数”的系统。(3)蔡氏父子“范数之学”的内容。蔡元定有构建“范数之学”的意图，但没有形成著作，他“因数明理”的方法主要表现在《大衍详说》中对筮数的哲理化，以及《律吕新书》中对乐律现象的哲学解释。蔡沈的《洪范皇极》极大地发挥了数学的功能，最终导出了“通数成圣”的理论。　　蔡元定、蔡沈父子的“范数之学”表明他们已经初步认识到数学能够表达物理，但他们对如何用数学来表达物理却认识粗浅，思维上主要运用类比，缺少严密推理，数字及其运算基本被作为一种象征符号。