偏微分方程的边值问题广泛地应用于探讨物理、化学、生物学等领域的各种现象,具有重要的理论和实际意义。本文主要研究了偏微分方程的两类边值问题,一类带有非线性边界条件的椭圆型方程方程组边值问题的分支,另一类是捕食模型的自由边值问题。首先,我们研究一类具有非线性边界条件的椭圆型方程边值问题的分支结果。利用抽象分支定理,研究在平凡解处的局部分支;借助于大范围分支定理,证明从平凡解分支出的解曲线是无界的。其次,我们考察两类带有非线性边界条件的椭圆型方程组的分支问题。一方面,讨论了带非线性边界条件的椭圆方程组的分支与稳定性。给出椭圆型方程组具有最大值原理的条件,证明椭圆型方程组的主特征是正的,次强最大值原理成立和存在严格上解,三者是等价的。把方程式的已知结论推广到方程组。利用Shi和Wang的一个抽象结果和Crandall-Rabinowitz分支定理,证明在平凡解曲线上存在光滑分支解曲线。利用椭圆方程组的主特征值符号,研究平凡解和分支解的稳定性。另一方面,我们研究了带有非线边界条件的Lotka-Volterra竞争模型边值问题正解的存在性和分支。利用不动点定理证明了当耦合有序上、下解存在时,在上、下解之间存在一个解。通过构造合适的耦合有序上、下解,证明正解的存在性。利用Crandall-Rabinowitz分支定理证明在半平凡解曲线上存在光滑分支曲线。最后,我们考虑两类捕食模型的自由边界问题。对于比例依赖捕食模型的自由边界问题,主要研究捕食者、被捕食者和边界的动态问题。给出解的全局存在唯一性和正则性及估计。通过构造迭代序列,给出解的长时间性质,得到捕食者蔓延-熄灭的二择一性质。给出蔓延和熄灭的判据。另一方面,我们研究了Lotka-Volterra捕食模型的两类自由边值界问题。证明解的全局存在唯一性和正则性及估计,研究当时间趋于无穷时解的渐近性质,给出蔓延和熄灭的判别条件。