广义逆可以分为经典广义逆和新型广义逆.经典广义逆有Moore-Penrose逆以及Drazin逆（Drazin指标为1时称为群逆）,这两类广义逆在许多领域中发挥着重要的作用,例如微分方程,数值分析,最优化,电网络分析,马尔科夫链以及测量学等.近几年出现了一些新型广义逆,例如2010年Baksalary和Trenkler在复矩阵中提出的核逆与对偶核逆.2014年,Rakic等人把复矩阵上的核逆的概念推广到带对合的环上,并用5个方程刻画了核逆.2017年,许三长等人在环上证明了刻画核逆的5个方程等价于3个方程.迄今为止,关于核逆与对偶核逆的研究结果并不多.本文主要研究环,半群以及范畴上的核逆与对偶核逆的存在性准则及表达式,并且将所得结果应用到特殊矩阵上.Moore-Penrose逆和群逆作为两类经典广义逆,在广义逆理论中发挥着重要的作用,很多学者致力于研究Moore-Penrose逆和群逆的存在性以及表达式.Bhaskara Rao在环上用幂等元刻画了群逆的存在性,许三长等人在环上用投影元刻画了 Moore-Penrose逆的存在性.本文的第二章第二节将这些结果推广到核逆上,用投影元刻画了核逆与对偶核逆的存在性,证明了对于任意的正整数n≥1,环上元素α是核可逆的当且仅当存在唯一的投影元p使得pa=0且αn+p是可逆的,并给出了核逆的表达式.众所周知,我们可以利用主左理想和主右理想的交集刻画Moore-Penrose逆与群逆的存在性,朱辉辉等人把Moore-Penrose逆的双边刻画转化为单边的情形,即:环R上的元素α是Moore-Penrose可逆的当且仅当α∈αα*αR当且仅当α∈Rαα*α.第二章第一节证明了对于任意的正整数k≥2,α是核可逆的当且仅当α∈R（α*）kα∩Rαk;对比上述朱辉辉等人的结论,我们证明了α既是核可逆的又是对偶核可逆的当且仅当α∈（α*）kαR∩Rα（α*）kα.注意到,在C*-代数中,正则元一定是Moore-Penrose可逆元,但在环上一般未必.因此研究环上正则元的广义逆的存在性问题是有趣的.陈建龙等人在环上讨论了正则元的核可逆性,还给出了正则元既是核可逆的又是对偶核可逆的等价刻画.第二章第三节利用内逆与可逆元刻画了正则元既有核逆又有对偶核逆的情况,给出了一些新的等价刻画.范畴上态射的广义逆是广义逆理论中重要的内容之一.例如,Robinson与Puystjens在范畴上研究了带有满单分解或者带有核与余核的态射的Moore-Penrose逆与群逆;Huyle-brouck和Puystjens以及游宏和陈建龙在范畴中研究态射之和的Moore-Penrose逆与群逆,并把研究结果应用到环上,给出了 α+j的Moore-Penrose可逆性以及群可逆性分别与α的Moore-Penrose可逆性以及群可逆性的关系,其中α属于环R,j属于R的Jacobson根.本文的第三章对于核逆得到了相应的结论,建立了α+j的核可逆性与α的核可逆性的联系,证明了α+j是核可逆的当且仅当（1-αα（?））j（1+α（?）j）-1（1-α（?）α）=0,并给出了 α+j的核逆的表达式.此外,讨论了带有满单分解或者带有核与余核的态射的核逆与对偶核逆的存在性,给出核逆或者对偶核逆存在的等价刻画以及表达式.一些特殊矩阵（如:友矩阵、Hankel矩阵等）的广义逆的计算在矩阵理论中占据重要的地位.Hartwig和Shoaf研究了三角矩阵、双对角Toeplitz矩阵以及三角Toeplitz矩阵的Drazin逆的存在性,给出了首一多项式p（λ）的友矩阵L的群可逆性与p（λ）系数的关系,受此启发,我们在第四章讨论了友矩阵L的核可逆性与p（λ）系数的关系,并用系数给出了L的核逆的表达式.此外,我们利用矩阵分解的方法研究了 Hankel矩阵、Toeplitz矩阵以及Bezout矩阵的核逆的存在性及表达式.环上元素或Hilbert空间上两个投影算子（或幂等算子）的差与积的广义逆的存在性问题受到很多学者的关注.例如,李愿,邓春源和魏益民在C*-代数与Hilbert空间上的有界线性算子中研究了两个投影元的差与积的Moore-Penrose逆的存在性与表达式.张小向、陈建龙和朱辉辉等在环上研究了两个投影元（幂等元）的差与积的Moore-Penrose逆（Drazin逆）的存在性准则和表达式.最后一章讨论了对于两个投影元p,q,它们的差p-q以及1-qp,pq+qp分别是核可逆的充要条件及其核逆的表达式.此外,郭文彬、Castro-Gonzalez与Hartwig在复矩阵中考虑了{1}-逆以及Moore-Penrose逆的正序律成立的等价条件,类比他们的结论,我们给出了核逆的正序律以及混合正序律成立的等价条件。