【摘 要】
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1994年,编码学者发现一些重要的非线性二元码可以由Z4上一些特殊的具有好的结构的线性码通过Gray映射构造.在此之后,编码学者开始研究有限环上的纠错码理论.本文在已有研究成果基础上,发展有限环和有限域上的纠错码理论,研究有限环上线性码的覆盖半径,有限环上斜常循环码和斜循环码的代数结构以及有限域上优化码的构造,获得有限域上具有较好参数的线性码并将其应用于构造新的量子纠错码.具体内容如下:第一章,介
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1994年,编码学者发现一些重要的非线性二元码可以由Z4上一些特殊的具有好的结构的线性码通过Gray映射构造.在此之后,编码学者开始研究有限环上的纠错码理论.本文在已有研究成果基础上,发展有限环和有限域上的纠错码理论,研究有限环上线性码的覆盖半径,有限环上斜常循环码和斜循环码的代数结构以及有限域上优化码的构造,获得有限域上具有较好参数的线性码并将其应用于构造新的量子纠错码.具体内容如下:第一章,介绍纠错码理论的发展和研究现状,并简要概括本文所做的主要工作.第二章,令R1=F2+vF2,其中v2=v.本章节研究有限环F2×R1上重复码、单纯码和Mac Donald码在Chinese Euclidean距离下的覆盖半径.第三章,令α和β是正整数,q是一个素数方幂且满足gcd（q,6）=1.令R2=Fq2+u Fq2+vFq2+uvFq2,其中u2=u,v2=v,uv=vu.本章节研究有限环Fq2×R2上的线性斜常循环码,讨论这类码的结构性质,给出这类码的生成元和极小生成集的表达形式.通过建立从Fq2α×R2β到Fq2α+4β的保持Hermitian正交性的Gray映射,由环Fq2×R2上线性斜常循环码的Gray象得到有限域Fq2上的Hermitian对偶包含码,其中α和β是正整数.最后通过Hermitian构造,得到一些新的且具有较好参数的量子纠错码.第四章,令R3=Fq+uFq,其中u2=0.本章节研究有限环Fq×R3上的线性斜循环码,讨论该类码的生成元、极小生成集和可分的线性斜循环码的对偶码的结构.通过建立从有限环Fq×R3到有限域Fq3上的Gray映射,得到有限域Fq上的一些最优线性码.第五章,研究有限域Fql上Fq-线性码的构造,其中l是一个素数.首先,通过一类特殊的Vandermonde矩阵,即Fourier矩阵,构造Fq2上极大距离可分（MDS）Fq-线性码;其次,通过有限域Fql上常循环的Fq-线性码的分解,构造Fql上MDS Fq-线性码.第六章,总结本文内容,提出几个有待进一步研究的问题.
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