【摘 要】
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通过子群去研究有限群的性质结构是群论研究的重要课题.我们将考虑两类特殊子群:共轭置换子群和循环子群,并利用这两类子群去研究一些有限群的结构和性质.本文第一部分研究共轭置换子群对群结构的影响.我们称非循环子群均共轭置换的有限群为NCCP群.我们得到了 NCCP群的一些性质(引理2.6)以及分类了两类非幂零NCCP群的结构.第1类:群G的Sylow子群均循环.由[7]中定理6.18知G(?)<a
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通过子群去研究有限群的性质结构是群论研究的重要课题.我们将考虑两类特殊子群:共轭置换子群和循环子群,并利用这两类子群去研究一些有限群的结构和性质.本文第一部分研究共轭置换子群对群结构的影响.我们称非循环子群均共轭置换的有限群为NCCP群.我们得到了 NCCP群的一些性质(引理2.6)以及分类了两类非幂零NCCP群的结构.第1类:群G的Sylow子群均循环.由[7]中定理6.18知G(?)
,记G(m,n).结论如下:定理2.10若群G(m,n)非循环,则下列条件等价:(1)G(m,n)为NCCP群;(2)m为素数;(3)G(m,n)的非循环子群均正规.第2类:G含有初等交换Sylow子群.得到以下定理:定理2.11若G为NCCP群且G含有初等交换Sylow r-子群R,则G=H(?)R,其中H为循环群.令H=,| a |=n,|R|间=rγ.若H不可约地作用于R,则H(?)R=.其中,f(x)=xγ—tγXγ-1-…-t2x-t1在域Fr上不可约.对任意的m | n且m ≠ n,有f(x)(?)xm-1,但f(x)|xxn—1.对任意的ni|n,fi(x)为ani的表示矩阵Ani的特征多项式,有fi(x)在域FFr上不可约.本文第二部分研究了循环子群个数与群结构的关系,并分类了恰有9个循环子群有限群.有以下定理:定理3.9设G为有限群.G恰有9个循环子群当且仅当G为下列群之一:(1)Cp(?)C7(p=2,3,5),(2),(3)Cp8,Cp2q2,(4).
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