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本文论述了弱空间式Locale和Locale的反射性,全文主要内容如下:
1.引入弱空间式locale的定义,证明弱空间式locale范畴WSloc为范畴Loc的余反射满子范畴,弱空间式locale的乘积是弱空间式的。给出了弱空间式locale的一组等价刻画。特别地,证明了一个locale A是空间式的当且仅当它的核映射localeN(A)是弱空间式的;一个空间式locale的每一个子locale都是空间式的当且仅当它的每一个子locale是弱空间式的。最后,证明了弱空间式性在定向函子下保持不变。
2.在locale中引入正则元,完全正则元以及零维元的概念,构造性的给出了任意locale的正则反射,完全正则反射以及零维反射的描述。对于满足‘?’关系插入性的locale,证明了弱正则元与正则元等价,给出其更好形式的正则反射构造。进一步,利用平稳(flat)子locale的扩张引理给出了locale的紧正则反射,紧完全正则反射以及紧零维反射的构造性描述。
3.对于正规locale,给出其Banaschewski-Mulvey形式的紧正则反射,并证明其与Johnstone形式的Wallman紧化一致,从而推广了 Johnstone在文献[76]中的主要结果。进一步讨论其与前一章得到的紧正则反射之间的关系,证明了 A 的理想格上的正则元就是 A 的正则理想,说明了几种正则紧反射构造的等价性。
4.对于满足‘?’关系插入性的locale,运用前一章得到的紧正则反射,证明了满足插入性的可紧化locale的紧正则反射保持和反射连通性。因正规locale满足插入性,推广了B.Banascewski的相关结果,部分解决了文献[21]的一个问题。
5.引入限制反射子范畴的定义。证明了:若范畴B是 A 在范畴 C 上的限制反射子范畴,范畴 C 是B的反射子范畴,则范畴 C 是 A 的反射子范畴,即给出更弱形式的反射子范畴的复合定理。