【摘 要】
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混合振动系统的研究在其它学科和工程技术领域中有着十分重要的作用.近几十年来,受其应用的驱动,关于混合振动系统反问题的研究受到了许多学者的广泛关注.其中反谱问题作为该研究中一个重要的内容,不仅在量子物理、电学、气象学等领域有着广泛而直接的应用,同时也是求解数学物理中非线性方程的有效途径之一.本文主要针对一类混合振动系统,即含有内部点条件的一维Schr?dinger算子,的反谱问题进行了较为系统的研究
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混合振动系统的研究在其它学科和工程技术领域中有着十分重要的作用.近几十年来,受其应用的驱动,关于混合振动系统反问题的研究受到了许多学者的广泛关注.其中反谱问题作为该研究中一个重要的内容,不仅在量子物理、电学、气象学等领域有着广泛而直接的应用,同时也是求解数学物理中非线性方程的有效途径之一.本文主要针对一类混合振动系统,即含有内部点条件的一维Schr?dinger算子,的反谱问题进行了较为系统的研究.分别利用两组谱、三组谱以及Weyl函数得到了相应的唯一性定理,并实现了重构算法;同时还考虑了含有内部点条件的Dirac类算子的反谱问题.主要工作概括如下:第一章介绍混合振动系统的物理背景及其研究意义;以一维Schr?dinger算子为对象介绍反谱问题的研究现状.第二章研究含有内部点条件的一维Schr?dinger算子的谱与反谱问题.构造一个与该算子共谱的算子并证明其自伴性;给出其初值解和特征值的渐近表达式;利用Weyl函数、两组谱、特征值与规范常数分别给出了相应的唯一性定理.第三章研究上述算子的三组谱反问题.考虑三组谱有相交特征值的情况,借助于相交特征值对应的规范常数,证明了相应的唯一性定理.同时建立了势函数的重构算法.第四章研究上述算子的混合谱数据问题.证明了,当给定一半区间上的势函数及内部点条件中一半的参数时,一组谱可以唯一确定该算子;当给定的参数多于一半时,缺失有限个特征值算子的唯一性依然成立.第五章研究该算子的局部唯一性问题.考虑两个算子在部分势函数及部分内部点条件的参数相等的情形下,Weyl函数之差的渐近式.同时研究了势函数局部光滑情形下一维Schr?dinger算子的局部唯一性定理.第六章将上述算子的唯一性结论推广于含有内部点条件的Dirac类算子,得到了相应的唯一性定理.
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