【摘 要】
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具有特殊几何结构的黎曼流形的分类问题及刚性问题是微分几何领域中的重要研究课题.本文主要研究黎曼流形具有以下几个几何结构的分类或刚性问题:广义Bach平坦的四维黎曼流形
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具有特殊几何结构的黎曼流形的分类问题及刚性问题是微分几何领域中的重要研究课题.本文主要研究黎曼流形具有以下几个几何结构的分类或刚性问题:广义Bach平坦的四维黎曼流形;Bach平坦的黎曼流形;具有调和黎曼曲率张量的流形;二次曲率泛函临界度量的刚性刻画.其中每一部分,都对两类流形进行研究:紧致黎曼流形上的刚性刻画;完备黎曼流形上的刚性刻画.采用的主要方法是:针对各种特殊的几何结构进行具体分析和比较,获得某种更加精确的估计式(比如,引理2.2.9的估计式(2-30)),再利用极值原理(比如引理1.3.7的估计式(1-11))等,根据一些已有的经典理论推导出所需结果.论文的整体结构安排如下:第一章,介绍相关研究背景、预备知识和几个引理.第二章、第三章和第四章,分别研究广义Bach平坦的四维流形,Bach平坦的流形,以及具有调和黎曼曲率张量的流形.利用有关Weyl曲率张量、Ricci曲率和数量曲率的不等式,建立Einstein流形和常曲率空间的刚性刻画.另外,利用有关Weyl曲率张量、Ricci曲率和Yamabe不变量的积分关系式,给出了一些其它类似的刚性定理.其中,所得到的部分结果实质推广了一些已有的结论.第五章,研究二次曲率泛函Ft=(?)|Rij|2+t(?)R2,t∈R临界度量的刚性.利用有关Weyl曲率张量、Ricci曲率和数量曲率的逐点不等式,得到Einstein流形和常曲率空间的刚性刻画.另外,利用紧致流形具有的积分公式和临界度量满足的积分公式,也给出了一些相应的刚性刻画.而对于完备的流形,还得到了有关Weyl曲率张量、Ricci曲率和数量曲率的逐点不等式的刚性结果,推广了Huang-Chen-Li[59]的相应结论.
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