红利分配问题自从上世纪以来一直都是金融保险研究的一个热点问题，它主要来源于对公司金融/财务决策问题的研究。De Finetti最先提出以最大化破产前的期望累积折现分红作为保险公司价值的尺度，他指出了在一定意义上这是一种比用破产概率刻画公司风险价值更好更现实的一种尺度。最优分红问题的研究已具有很长的历史，继De Finetti[26]研究了一类简单的离散时间的随机游动并证明其最优分红策略存在且为边界策略(barrier strategy)之后，许多文献研究了更一般的离散时间的随机模型，证明了最优的分红策略为所谓的带状策略(band策略)。Gerbe首次研究了连续时间风险模婺卜古典风险模型中的最优分红问题，并利用离散化技巧证明了最优策略为带状策略，特别地，当索赔分布为指数型时，最优策略退化为边界策略。直到二十世纪九十年代精算学者开始把随机控制理论应用到保险风险模型中，最优分红问题才取得了突破性的进展。其中大部分是基于对常系数扩散模型及古典复合泊松模型这两类具有平稳独立增量的风险模型的研究以及少数利用波动理论对谱负Lévy模型的研究。在这类问题的研究中，为了使分红量尽可能的大，保险公司可能会采取一些相应的措施例如再保险或投资金融市场。这时保险公司所面临的问题就是如何寻找最优的再保险和投资策略使得总红利达到最大，这类问题都属于金融保险中的随机最优控制问题。参考文章Albrecher and Thoahauser,Asmussen and Taksar，Asmussen et al.,Azcue and Muler,Belhaj,Choulli et al.,Choulli[21],Gerber andShiu[34,35],H(φ)jgaard and Taksar,Paulsen[58],Paulsen and Gjessing，Taksar，等等。　　 通过对扩散模型中以及经典风险模型中最优分红问题的研究，我们知道最优的分红策略通常为边界或带状分红策略，而如果公司按照此策略进行红利分配的话，公司一定会破产。因此为了克服这一缺陷，Sethi and Taksar[65]提出了在这一模型中引入融资的可能性，即当公司一旦出现赤字，公司可以通过筹资防止公司破产，从而使公司能继续经营下去，而且还证明了此时公司的价值等于破产前公司收到红利的期望折现值减去融资的期望总成本。此时公司所面临的问题是如何选择分红及注资策略才能使上述公司的价值最大化（此问题以下简记为“分红减注资”）。　　 基于以上背景，我的论文主要致力于研究带注资的最优分红问题，这也是本文的主体部分。另外，除了用破产前总的分红量来衡量公司的价值以外，期望财富效用（某时刻的期望财富效用或者某段．时同的累积期望财富效用）一直以来也是很多公司用来衡量公司价值的重要尺度之一。因此以期望财富效用作为优化准则的最优控制问题是本文研究的第二类问题。本篇论文的结构和内容安排如下：　　 全文分三个部分共七章。第一部分（即第1章）为引论部分，着重介绍了分红问题的相关背景以及本文的主要内容及结果，另外还分别介绍了本篇论文所用到的主要符号，基础框架模型以及基本的随机最优控制理论。　　 论文的第二部分研究以带漂移的布朗运动以及经典风险模型作为基础框架模型下的最优分红和注资问题。这一部分一共分为四章，包括第2章至第5章。　　 第2章以古典模型的扩散近似模型作为基础框架，引入便宜型混合再保险，考虑了“分红减注资”目标下的最优分红注资问题。这里的混合再保险指的是比例再保险与超额损失再保险的混合（下文相同）。通过构造一类子模型“注资保证永不破产”，并利用该子模型值函数非负的性质以及基本的随机最优控制理论我们证明了这类子模型的值函数就是所求最优问题的值函数，这样我们将最初的未带初始条件的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程转化为带初始条件的HJB方程，从而问题得到简化。同时，我们也证明了在这类最优准则下最优混合再保险策略为纯超额损失再保险策略，结合Asmussen et al.[4]中的结论，我们验证了在扩散模型中以最大化累积期望折现分红作为目标函数时，融资机会的引入不改变超额损失再保险优于比例再保险的性质。　　 第3章将再保险推广到了一般的情形，既包括便宜型也包括非便宜比例再保险，研究了“分红减注资”目标下常系数扩散模型中的最优分红注资问题。与第2章类似，本章的困难之一是值函数在零点的边界条件未知。利用L(φ)kka andZervos[51]中的思想，我们首先构造两类子模型“永不注资”以及“注资保证永远不破产”（这两类子模型值函数的边界条件已知）并通过HJB方程的方法分别计算出这两类子模型下的最优策略和值函数的显式表达式，然后再利用验证定理及子模型值函数的表达式证明了原问题的最优解要么与“永不注资”相同,要么与“注资保证永远不破产”一致，这取决于模型中的参数关系。最后通过一些数值计算，得到了比较好的结果，并对它的经济意义进行了描述。　　 第2，3章均以扩散模型作为基础框架，而第4章与第5章主要致力于研究以古典风险模型（包括离散时间与连续时间这两种情形）作为基础框架的最优分红与注资问题。关于古典风险模型的最优分红问题的研究，一直以来都是一个难点，原因是该情景下所对应的最优方程不再有连续可微的解且边界条件也未知。相关文献如Albrecher and Thonhauser[1],Azcue and Muler[6]利用粘性解理论证明了在此类模型中最优策略为band分红策略，除了对一些特殊的索赔分布能得到关于最优策略和最优值函数的闭式解以外，其它大部分情形均无法得到显式解。而Kulenko and Schmidli[48]首次在古典模型中引入融资机会，并且在保证公司永远不破产的约束下，讨论了“分红减注资”准则下的最优分红和注资问题，结果表明，对任意索赔分布，最优分红策略均为边界分红策略。这是一个非常好的结论，但是该文的一个缺陷是，只得到了某些特殊的索赔分布如指数索赔分布下的最优分红边界以及值函数的显式表达式。在第4章，我们将古典风险模型进行离散化，包括时间与状态，即研究时间与状态均离散的双离散古典风险模型中的最优分红与注资问题。用离散模型研究问题有一定的合理性与优越性，这是因为与连续时间模型相比，离散模型有其自身的优势，一是更贴近实际，在现实中红利的分配与融资都是在离散的时刻进行的，二是具有递归的性质更容易进行数值模拟。同时我们加入了与Kulenko and Schmidli[48]相同的约束条件“通过注资保证公司永远不破产”。首先利用压缩映射原理我们证明了值函数为某一离散型HJB方程的唯一解，再通过证明该问题值函数差分函数具有递减的性质，我们证明了对于任意索赔分布最优分红策略均为边界策略，最优的资金注入策略为当公司出现负资产的时候，立即注入资金使公司的资产恢复到0。尤为重要的是，对于任意离散索赔分布，我们均可利用数值算法得到其最优分红边界和最优值函数在任意一点的值，这一结论克服了相应连续时间模型Kulenko and Schmidli[48]中“只能得到某些特殊的索赔分布如指数索赔分布下的最优分红边界以及值函数的显示表达式”这一缺陷。　　 以上几章中我们仅考虑了比例费用，但在实际金融市场中，分红与筹资除了考虑与分红额或筹资额大小有关的比例费用外，往往还需要一定数额的与分红额或筹资额大小无关的固定费用，如咨询费，手续费等。固定费用的引入使得分红或筹资只能在离散的时刻发生，从而将原来的奇异控制问题变成脉冲控制问题；而且往往会使问题的研究变得更为复杂，包括计算值函数的表达式以及最优分红策略的形式。连续时间扩散模型以及某些特殊索赔下的古典风险模型中带固定交易费用的最优分红问题在过去一段时间里得到了很多学者的关注，例如以扩散模型作为框架的Cadenillas et al.[16]，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[44]以及以古典模型作为框架的Bai and Guo[9]。在这些文献中，固定费用的引入使得最优分红策略由原来的边界分红策略变为块状边界策略（即存在两个边界，当盈余到达上边界时，进行分红，盈余减少到下边界）。因此在第5章中，我们在连续时间的古典风险模型中考虑了分红和筹资均需固定交易费用时的最优分红和注资问题，即在Bai and Guo[9]的基础上引入融资机会并在保证公司永远不破产的约束下讨论其最优解。这也是首次在古典模型中同时引入注资和固定费用。利用脉冲控制理论，我们首先证明了该问题值函数在粘性解的意义下满足某拟变分不等式并给出了验证定理。此外，当索赔分布服从指数分布时，通过构造相应逆变分不等式的解我们得到了值函数的显式表达式，并且证明了最优分红注资策略是所谓的“双块状边界策略”。具体地说，即存在两个上边界a1，a2，两个下边界b1，O满足a1>a2≥b1≥0,当盈余到达a1时，进行分红使盈余减少到a2，当盈余低于0时（出现负资产），立即注入资金使公司的资产恢复到某个非负的水平b1。　　 本文的第三部分是基于最大化财富效用问题的研究，包括第6章和第7章。　　 过去几十年里，最大化期望终端财富效用问题一直是金融学和保险精算学中的热门话题。Browne[14]假设公司的盈余过程服从带漂移的布朗运动并且可以投资风险资产股票，讨论了最大化终端指数效用标准下的最优投资问题；Yang andZhang[69]将此模型推广到跳扩散风险模型中，考虑了相同目标下的最优控制问题；Bai and Guo[8]，Cao and Wan[18]进一步将投资与比例再保险同时考虑到带漂移的布朗运动模型中，考虑了最大化终端指数效用准则下的最优投资与比例再保险问题。但是到目前为止，还没有文章同时将投资与再保险引入带跳的风险模型中，考虑终端指数效用准则下的最优化问题。因此第6章以古典风险模型作为框架，同时加入两类控制策略，一为投资金融市场，包括无风险资产债券以及风险资产股票，二为购买混合再保险，包括比例再保险与超额损失再保险，以最大化期望终端指数效用为优化准则，在允许借入以及再保险公司承担风险不超过最大风险敞口的前提下讨论了相应的最优投资和再保问题。本章首次在带跳的风险模型中同时引入投资和混合再保险并考虑终端指数效用准则下的最优化问题。我们首先利用随机动态规划理论的方法给出相应值函数所满足的HJB方程，再利用Yang and Zhang[69]中解的构造技巧得到了值函数以及最优策略的显示表达式，并证明了再保险策略的引入并不影响最优投资策略的选择，同时还证明了最优混合再保险为超额损失再保险，这一结论再一次在新的模型新的准则下证明了超额损失再保险是比比例再保险更好的再保方式。　　 第7章同样考虑最大期望财富效用问题，与第6章不同的是以Egami and Young[28]中“破产前总的期望折现线性财富效用”作为优化准则，并引入投资，不同于前面的投资，这里投资的资产不是金融市场上的债权或股票，而是一种实物期权（公司花费固定的费用投资一项新技术，使得公司在保证收益过程的波动率不变的同时提高期望收益率），也称为增长期权，研究的问题是是否需要投资及何时进行投资才能最大化公司的期望效用。我们首先通过财富过程的强马氏性将问题转化为一标准形式的最优停时问题，再利用Dayanik and Karatzas[24]中关于一维扩散过程的最优停时理论，我们求出了最优投资策略和值函数的显示表达式。　　 我的博士论文主要利用随机动态规划理论，脉冲控制理论，泛函分析理论以及最优停时理论解决了几类保险风险模型中在“分红减注资”以及“最大化期望财富效用”这两类最优准则下的控制问题。包括扩散模型中在混合便宜再保险及非便宜比例再保险情形下的最优分红与注资问题，双离散古典模型在不破产约束下的最优分红注资问题，以及古典模型中分红与注资均需固定费用的在不破产约束下的最优分红注资问题；古典模型中以最大化期望终端指数财富效用准则下的最优混合再保险与投资问题以及有增长期权投资机会下的最优累积折现线性财富效用问题。本文对几乎所有的最优控制问题都给出了非常明确的最优解，某些问题还结合数值计算直观地反映了一些有意义的经济上的结论。另外，在很多准则下如最大期望折现分红，最小破产概率，很多学者证明了在某些保险模型中有最优混合再保险为纯超额损失再保险的经典结论，本文在上述两类优化准则下继续考虑了最优混合再保险问题，结果表明在新的模型新的准则下“最优混合再保险为纯超额损失再保险”这一结论仍然成立。