线性统计模型是回归分析中研究的最基本模型,在统计学里不管从理论角度,还是应用角度一直都扮演着十分重要的角色,以至于它们被认为是目前统计学理论中十分重要的内容,许多生物、医学、经济、管理、地质、气象、农业、工业、工程技术等领域的现象都可以用线性模型来近似描述,成为现代统计学中应用最为广泛的模型之一,线性模型是一类统计模型的总称,它包括了线性回归模型、方差分析模型、协方差分析模型、混合效应模型(或称方差分量模型)、纵向数据模型和生长曲线模型等,它是唯一的一类在线性代数和矩阵理论方面有坚实理论支撑的统计模型。本文主要从代数角度利用线性代数和矩阵理论中的代数分析工具重新研究了参数约束一般线性模型(CGLM)下均值参数向量和部分均值参数向量普通最小二乘估计(Ordinary Least Squares Estimator,.简记为 OLSE)和最佳线性无偏估计(Best Linear Unbiased Estimator,简记为BLUE)间的等价性,一般线性模型和它错误指定模型下所有未知参数构成函数的最佳线性无偏预测(Best Linear Unbiased Predictors,简记为BLUPs)之间的关系问题以及多元一般线性模型(MGLM)和带多余参数(over-parameterized或over-fitted)多元线性模型中所有.共同参数构成函数及其特例的BLUP/BLUE之间的等价性问题,属于回归分析理论中的经典研究问题之一。全文共分8部分,导论综述了本文的研究背景、意义、相关的文献梳理、研究内容及方法和创新点。第1章主要介绍了无参数约束两分块以及多重分块线性模型,参数约束两分块以及多重分块线性模型和多元一般线性模型的一般形式,给出模型中未知参数函数和未知参数矩阵函数可估性、普通最小二乘估计(OLSE)以及最佳线性无偏估计(BLUE)的定义以及OLSE、BLUE的解析表达式。第2章主要给出了部分参数约束两分块线性模型下未知参数函数、均值参数向量和部分均值参数向量可估性关于矩阵秩和空间关系式子的各种充要条件以及它们的OLSE和BLUE的解析表达式,表达式里包含了模型中给定矩阵以及它们广义逆复杂的矩阵算子,利用矩阵理论中的解析工具给出了这些估计量各种优良的代数和统计学方面的性质,对部分参数约束两分块线性模型中均值参数向量和部分均值参数向量OLSEs和BLUEs之间关系进行了新的调查研究,这里首先回顾并给出一般线性模型下OLSE和BLUE等价性方面一些已知和新的等价条件,然后给出了部分参数约束两分块线性模型中均值参数向量和部分均值参数向量OLSEs和BLUEs相等各种全新的等价性结论,最后给出了部分参数约束两分块线性模型下均值参数和部分均值参数估计量之间关系的重要结论,即下面的陈述是等价的:(a)OLSEpr(X1β1+X2β2)=BL UEpr(X1β1+X2β2)绝对成立.(b)OLSEpr(X1β1)=BLUEpr(X1β1)和OLSEpr(X2β2)BLUEpr(X2β2)绝对成立.(c)OLSEpr(X2⊥X1β1)=BL UEpr(X2⊥X1β1)和OLSEpr(X1⊥X2β2):=BL UEpr(X1-X2β2)绝对成立.第3章主要给出了未知参数函数在一般线性模型和一般参数约束两分块线性模型下分别可估全新的充要条件以及OLSE和BLUE的解析表达式,研究了均值参数向量和部分均值参数向量OLSEs和BLUEs 之间的关系,给出了一般参数约束两分块线性模型下OLSE和BLUE相等各种全新的等价性结论,最后给出了均值参数和部分均值参数估计量之间关系的重要结论,即下面四个统计学事实是等价的:(a)OLSEμ(X1β1+X2β2)=BL UE=(X1β1+X2β2)绝对成立(以概率1成立).(b)OLSEμ(X1β1+X2β2)=BLUEμ(X1βX+X2β2)绝对成立(以概率1成立).(c)OLSEμ(X1β)=BLUEμ(x1β)和OLSEμ(X2β2)=BLUEμ(X2β2)绝对成立(以概率11 成立).(d)OLSEμ(X1β1)=BLUEμ(X1β1)和OLSEμ(X2β2)=BLUEμ(X2β2爲)绝对成立(以概率1成立).这些结果表明线性模型中分析和推断的许多统计事实实际上都是等价的,换句话说,线性模型下OLSE和BLUE的等价性有各种统计学方面的解释。第4章研究了一般参数约束多重分块线性模型下,均值参数向量和部分均值参数向量OLSEs和BLUEs之间的关系,通过利用各种经典的、全新的代数工具和方法,给出了OLSE和BLUE等价的各种全新的代数和统计学方面的解释,这些结果表明在各种不同假设下,OLSE和BLUE之间的本质联系,以便我们可以在不同的情形下来充分利用这些等价性事实,可以作为参数约束线性模型下统计推断的一般性参考。第5章研究了在统计分析中,假设正确的线性回归模型可能由于某种原因被表示成错误模型的形式,则错误模型下所有未知参数所构成函数的预测量在正确线性模型的统计推断中将会导致错误的结论,这里主要通过矩阵理论中精确的代数工具来研究正确线性模型和它错误指定模型下,所有未知参数所构成函数的最佳线性无偏预测(BLUP)之间的关系问题,给出两个模型下BLUPs各种关系的等价条件。即下面的陈述是等价的:(a)存在Pk0;J0;X0;Σ0和PK;J;X;Σ使得PK0;J0;X0;Σ0=PK;J;K;Σ;·(b){BLUPu(φ)}∩{BLUPμ0(φ0)}≠(?)绝对成立.(c){BLUPμ(φ)}∩{BLUPμ0(φ0)}≠(?)以概率1成立.(d){BL{BLUPμ(φ)(?){B;UPμ0(φ0)}以概率1成立.(e)R(M21 成立.(Ne).多元一般线性模型(MGLM)是一元一般线性模型(UGLM)的推广和一般化,它是回归因子对一个反应变量的回归推广到几个反应变量的回归,在线性模型的统计推断里,经常需要分析和比较两个或更多竞争模型之间的等价性和相似性,在统计实践中,若一个模型中的反应变量的观测值一旦被给定,可能会添加或删除回归因子后得到另外的模型,那么自然而然地需要来研究这两个模型之间的比较问题,若取原模型为正确模型,通过添加多维新的回归因子得到原模型的(over-parameterized或over-fitted)形式,则正确模型和它的over-parameterized模型之间未知参数的预测量/估计量不必是相同的,第6章里,首先利用带约束限制二次矩阵值函数最优化问题的解给出这两个模型下所有共同参数矩阵构成函数及其特例的BLUP/BLUE精确的解析表达式,然后给出BLUP/BLUE代数和统计学方面的性质和关于BLUP的分解等式,最后给出了两模型下所有共同参数矩阵构成函数及其特例BLUP/BLUE绝对相等、以概率1相等和方差相等各种全新的等价条件。第7章简单介绍一下矩阵分析工具在随机效应模型和多元线性模型中基本预测量/估计量加性分解和等价性方面的后续工作。本文研究的创新点主要体现在:参数类回归模型理论中基本估计量普通最小二二乘估计(OLSE)和最佳线性无偏估计(BLUE)以及不同模型下最佳线性无偏预测(BLUPs)之间的等价性问题属于回归分析理论中的经典研究问题之一,矩阵的秩是线性代数和矩阵理论中最基本的概念和数值特征之一,是反应矩阵本质性质最重要的有限非负整数,在矩阵理论和应用中人们已经建立了大量矩阵秩的解析计算公式,在线性模型的统计推断工作中利用矩阵秩方法取得了丰硕的研究成果,尽管对于线性统计模型已经有了很多经典的推断问题,还是能充分利用各种有效的矩阵分析工具去发现各种全新的、富有洞察力的结论,在模型中矩阵最一般的假设条件下,给出这些基本预测量/估计量精确的解析表达式、大量代数和统计学方面的性质、BLUP分解等式和OLSE与BLUE等价性方面大量全新并且易于使用的等价性条件及统计学方面的解释,进而可以把这些优良性质更好的应用于线性回归模型的统计推断工作中,该工作属于回归分析基础理论的创新研究,用到了数学中一系列新颖而有效的分析工具和方法,丰富和发展了回归分析的核心内容,对统计推断研究有深刻而长远的影响力。具体来说,有以下特色:1.模型矩阵以及协方差矩阵最一般的假设条件下,根据两个预测量/估计量绝对相等和以概率1相等的定义,从代数角度利用线性代数和矩阵理论中的代数分析工具重新研究了OLSE与BLUE之间的等价性问题,给出了部分参数约束两分块线性模型下未知参数函数、均值参数向量和部分均值参数向量可估性的关于矩阵秩、空间关系式子的等价条件,OLSE和BLUE的解析表达式以及它们相等各种全新的等价性条件,最后给出了部分参数约束两分块线性模型下均值参数和部分均值参数估计量之间关系的一个重要结论,所以这是一个非常值得研究、有意义的问题。2.模型矩阵以及协方差矩阵最一般的假设条件下,根据两个预测量/估计量绝对相等和以概率1相等的定义,从代数角度利用线性代数和矩阵理论中的代数分析工具重新研究了OLSE与BLUE之间的等价性问题,给出了一般参数约束两分块以及多重分块线性模型下未知参数函数、均值参数向量和部分均值参数向量可估性的关于矩阵秩、空间关系式子的等价条件,OLSE和BLUE的解析表达式以及它们相等大量全新的、前所未有的等价性条件和统计学方面的解释。3.模型矩阵以及协方差矩阵最一般的假设条件下,从代数视角利用线性代数和矩阵理论中的代数分析工具给出了正确模型和它的错误指定模型下所有未知参数所构成函数的BLUP精确的解析表达式以及它的大量代数和统计学方面的性质、BLUP的分解等式以及两模型BLUPs之间各种关系关于矩阵秩、空间关系式子全新的等价条件。4.模型矩阵以及协方差矩阵最一般的假设条件下,从代数视角利用线性代数和矩阵理论中的代数分析工具给出了多元一般线性模型(MGLM)和它的带多余参数(over-parameterized或over-fitted)多元线性模型下所有共同参数矩阵构成函数及其特例的BLUP/BLUE精确的的解析表达式以及它们的大量代数和统计学方面的性质、BLUP的分解等式以及两模型下所有共同参数矩阵构成函数及其特例BLUPs/BLUEs相等关于矩阵秩、空间关系式子各种全新的等价性条件。