1973年,J.Michael Kosterlitz和David J.Thouless首次在二维凝聚态系统中提出了物质的拓扑相及拓扑相变的概念。区别于普通材料的朗道相变理论,拓扑材料的拓扑相是由体系能带特征的拓扑不变量来表征的。拓扑作为一个数学概念,研究的是物体的几何在连续形变下保持不变的一种性质。在凝聚态物理中,物质的拓扑性质在环境扰动下能稳定存在某些相关态。例如区别于一般的平庸绝缘体,非平庸的拓扑绝缘体最直观的表现是物质具有拓扑性质而导致的导电的表面态,通过测量系统的基态的简并度来表征拓扑序,拓扑量子态会存在某种性质的量子纠缠等。用来表征系统内部特性的方法是我们研究的重点,为了能更好的找到相变点,区别平庸态和与拓扑态,本文运用理论计算推导了动量空间的本征值画出能带图,并利用精确的数值模拟的方法,计算了准粒子谱,边界态,纠缠谱,冯·诺依曼熵,激发能隙等物理量,综合分析这些判据的具体情况。首先,我们使用密度矩阵乘积态(MPS)的方法,对光学晶格中开边界条件下一维链的费米模型具有排斥相互作用驱动的拓扑量子相进行了研究,研究发现纠缠谱在系统拓扑态时为二重简并,由拓扑相向平庸相转变过程中,纠缠谱简并被破坏,同时在该点冯?诺依曼熵有一尖峰,我们可以推断出该点是一个相变点。为了更准确地验证结论的正确性,在拓扑相区间做准粒子能谱图,则会有两个简并的模局域在链的边界上。同时激发能隙也会在该相变点出现能隙闭合点。综合所有物理量,该点是该系统拓扑相向非拓扑相的转变的相变点。其次,我们研究了一维锯齿晶格中半填充状态下的Bose-Hubbard系统的拓扑性质,我们还是用多个方法确定系统的拓扑相变,证明该系统在合适的参数区间存在拓扑霍尔丹绝缘相(HI),但纠缠谱并没有在拓扑非平庸态中发生简并。说明纠缠谱的简并性不是判断拓扑的标志。最后,我们利用一维锯齿晶格中自旋轨道耦合驱动的费米子晶格模型,在填充因子为1/4(或3/4)时分析准粒子谱,该填充下系统存在边界态,但计算结果表明系统并没有拓扑态的特征。证明准粒子谱也不一定是判断拓扑的标志。同时为了验证锯齿晶格对模型的影响,我们对最简单的Fermi-Hubbard模型进行了验证,计算结果和之前的研究者统一,该模型在一维链状晶格中是不存在拓扑相变的。把该模型放在锯齿晶格中,准粒子能谱也会出现能隙和边界态,说明该能隙是由锯齿晶格引起的。