群分次环理论是群论和环论的汇合点之一.关于它们的研究成果在群论和环论中都有较高的应用价值.分次扩张和高斯扩张是环的两类非常重要的扩张.纯锥的研究对刻画群分次环上的上述两类扩张有十分重要的作用.假设Q为有理数加群,K是一个除环,Aut（K）是K的自同构群,σ是群G到Aut（K）的群同态,K[Q（n）,σ]为对应的斜群环.本文主要讨论了Q（n）上的纯锥与K[Q（n）,σ]中的平凡分次扩张,并讨论了Q（I）上的纯锥的一些性质,最后,对实数加群R上纯锥及对应的分次扩张进行了探讨.本文分为六个部分,第一部分是引言,第二至第五部分为文章的主体部分,最后部分是结束语.引言部分介绍了本文的研究背景和研究的意义以及本文的主要研究成果.第一章引入了平凡分次扩张的概念,讨论了纯锥与平凡分次扩张之间的关系.主要结果有：定理1.4假定G是一个有纯锥的群, K[G,σ]有一个左商环K（G,σ）,V≠K是K的一个全赋值环,则V在K[G,σ]上的所有平凡分次扩张的集合与G的所有纯锥的集合之间有一个一一对应的关系.第二章对Q与Q（2）上的纯锥进行了刻画并给出了Q与Q（2）上纯锥对应的平凡分次扩张,主要结果有:定理2.1令P为Q的子集,则P为Q的纯锥当且仅当P=Q0+或P=Q0-,其中定理2.2 P为Q上的一个纯锥当且仅当存在非零的数a∈R,其中,R表示实数集,使得P={x∈Q |ax>0}U{0}.定理2.6令P为Q（2）的子集, I1={（0,1）,（0,-1）},I2={（1,0）,（-1,0）},Q+={x>0 | x∈Q},则P为Q（2）的纯锥当且仅当存在r∈S,α∈I1∩P,β∈I2∩P,使得P=只或P=P’r.其中,S=[0,∞)∪{∞},定理2.7P2为Q（2）上的一个纯锥当且仅当存在不全为零的数a,b∈R,使得P2={（x,y）∈Q（2）| ax+by>0}∪{（x,y）∈Q（2）| ax+by=0,当b=0时, y≥0；当b≠0时, x≥0}或P2={（x,y）∈Q（2）| ax+by>0}∪{（x,y）∈Q（2）| ax+by=0,当b=0时,y≤0；当b≠0时,x≤0}.定理2.8P2为Q=（2）上的一个纯锥当且仅当存在不全为零的数a,b∈R,使得P2={（x,y）∈Q（2）| ax+by>0}∪Pax+by=0,其中,Pax+by=0为群{（x,y）∈Q（2）| ax+by=0}的一个纯锥.定理2.10假设V≠K是K的一个全赋值环.令的子集,并且A0=V,则A为V在K[Q,σ]上的平凡分次扩张当且当定理2.11假设V≠K是K的一个全赋值环, K[Q（2）,σ]有左商环K（Q（2）,σ）.令的子集,并且A（0,0）=V,则A为V在K[Q（2）,σ]上的平凡分次扩张当且仅当存在r∈[0,∞)∪{∞},α∈I1,β∈I2,使得以下情况之一成立：第三章给出了Q（n）上的纯锥的完全的刻画并给出了对应的平凡分次扩张.主要结果有：定理3.7 Pn为Q（n）上的一个纯锥当且仅当存在不全为零的数ai∈R（1≤i≤n）,使得其中为群的一个纯锥.定理3.8假设V≠K是K的一个全赋值环, K[Q（n）,σ]有左商环K（Q（n）,σ）.令的子集,并且则A为V的平凡分次扩张当且仅当存在不全为零的实数使得第四章给出了Q（I）上的纯锥的一些性质,特别地,对R上的纯锥进行了探讨.主要结果有：性质4.1 P为Q（I）上的一个纯锥当且仅当对任意为Qα+Qβ上的一个纯锥.性质4.2设集合Ⅰ为指标集,上的向量空间Q（I）的一组基,则P为Q（I）上的一个纯锥当且仅当对任意为有限集),上的一个纯锥.性质4.4假设Ⅰ为指标集且为无限集,令J={P | P为Q（I）上的一个纯锥},则CardJ=2CardI=Card（2I）,这里,CardJ表示集合J的势.性质4.5假设V≠K是K的一个全赋值环, K[Q（I）,σ]有左商环K（Q（I）,σ）.令上的一个平凡分次扩张},则card（?）=2CardI=Card（2I）.推论4.6令M={P |P为R上的纯锥},则Card M=2N.推论4.7假设V≠K是K的一个全赋值环, K[R,σ]有左商环K（R,σ）.令（?）={E | E为K[R,σ]上的一个平凡分次扩张},则Card（?）=2N.最后部分为结束语,总结了本文的主要工作,并对下一步的研究工作做了设想.