偏微分方程对现代数学的发展发挥着很重要的作用，而作为偏微分方程的一个主要的和重要的分支，椭圆型方程被许多作者研究过.对椭圆型方程解的存在或者不存在，唯一或者多重，正则性等一向是研究者的主题，特别是对含有临界指数和临界位势的Dirichlet边界值问题，本文从不同的角度（如含临界指数，临界位势，次临界指数和临界位势，临界指数和次临界位势等）讨论了椭圆型方程解的存在和不存在性以及多重解的存在性。　　 在第二章中，通过一个改进的Sobolev-Hardy不等式，讨论了一类含Sobolev-Hardy指数的椭圆型方程多解的存在性.首先利用上下解的方法证明了极小正解的存在性，其次，利用无PS条件的山路引理在极小解附近找到一列逼近解，通过分析得到这个逼近解的极限是问题的另外一个正解。　　 在第三章，我们研究了含临界Sobolev指数的双调和问题在变分框架下不能进行的条件。通过Ekeland变分原理和山路引理，在N≥5和f（x）合理假设下，获得了一些解的存在和不存在的结果，与此同时，我们考虑了含Hardy位势和临界指数的双调和问题，并证明了非平凡解的存在性。　　 在第四章，我们考虑了在N=4下一类含临界位势和不定权的双调和问题，通过一个最佳系数的Hardy不等式，利用山路引理证明了问题非平凡解的存在性。　　 本文最后一章，给出了一个满足两个守恒律的周期Camassa-Holm方程的差分格式.同时证明了收敛性.数值模拟显示了时间发展和孤立波方程之间的相互影响。