边界元方法以其建模简单、精度高而被广泛关注,然而,其本身固有的计算时间长、内存占有量大使其在常规求解技术下计算效率较低,影响了其在大规模边界值问题中的应用。本文借助于快速多极子方法,将边界元方法的计算复杂度大大降低,使其应用于大规模工程问题成为可能。本文首先介绍了边界元方法与快速多极子算法,然后推导了二维复合材料—正交各向异性问题的基本解,推导了实现快速多极子算法的各类传递系数,成功的将快速多极子方法应用到各向异性材料的边界元方法中。本文给出的数值算例结果表明,多极子算法将边界元法的计算复杂度都降到O(N)的量级,有效地降低传统边界元方法的计算复杂度,而且计算精度较高,可以将本研究成果应用到大规模二维正交各向异性问题的求解中。本文还研究了断裂力学理论中的路径无关积分—M积分,对于包含有微裂纹的三维脆性固体,推导得到了M积分和系统总能量变化的关系,即M=3CTPE。研究表明,对于由于预先存在的微裂纹的形成而引起的系统总能量变化的描述,M积分提供的总能量释放的描述比能量释放率的描述更加自然、合理。本结论可以进一步被深化应用到所有脆性固体材料的损伤和断裂的描述中去,如混凝土、岩石等材料,对于评价土木、水利等结构工程的安全、稳定以及防灾减灾研究具有重要的应用前景。