论文部分内容阅读
破产理论是风险理论的重要课题之一。破产概率是破产理论中最重要的量化指标，此概率是指保险公司的盈余过程最终会低于0的概率。通常，我们称盈余过程首次小于或等于0的时刻为破产时刻。除了破产时刻，从风险管理的角度考虑，保险人还会关系其他的与破产时间有关的量，如破产前的瞬时盈余、破产时的赤字等。一种统一处理这些变量的方法是研究所谓的Gerber-Shiu期望罚金函数，此概念由Gerber和Shiu于1997年首次提出。 破产概率和Gerber-Shiu期望罚金函数仅仅考虑与破产时间有关的变量。但是，在和寿命有关的非寿险风险管理中，有必要考虑两类停时，即破产时间和盈余首次达到一个预先给定的高水平的时间。在这种情形下，破产问题表现为一种双边逃逸的首离时问题。受此启发，Schmidli[37]研究了一类推广的Gerber-Shiu期望罚金函数,此推广的Gerber-Shiu期望罚金函数将前述两类停时同时纳入考虑。 在这篇毕业论文中，我们在两类风险模型下考虑了前述Gerber-Shiu期望罚金函数，即带利息的Cox风险模型和通过扩散项扰动的经典风险模型。在带利息的Cox风险模型中，推广Gerber-Shiu期望罚金函数是初始盈余和“Cox过程的强度过程的初始状态的双变量函数。首先，我们给出带利息的Cox模型的合理表达式。然后，通过微分技巧我们得到了此函数所满足的耦合的积分微分方程并称之为问题方程。基于此问题方程我们得到了一些分析结果。特别地，我们给出了EGS函数的一个指数上界估计，也得到了此类方程在初始盈余为0时的值。结合前述积分微分方程以及Gerber-Shiu期望罚金函数的初始值，我们理论上可以通过Piccard迭代的方法得到推广Gerber-Shiu期望罚金函数的数值结果。最后，我们研究了在平稳状态下相对应的问题。在带扩散项扰动的经典风险模型下，受到Schmidli[37]处理经典风险模型下的推广Gerber-Shiu期望罚金函数的方法的启发，我们通过鞅方法处理这个问题。我们也获得了一个关于EGS函数的积分一微分型问题方程。EGS函数也能被分解成两个子问题：一个是原始的Gerber-Shiu恤函数，另一个是首达问题。最后，对于这个风险盈余模型，我们仅需要解决第二个子问题。利用鞅测度变换及Kaokace变换的方法，在不同折现因子条件下，我们得到了推广的Gerber-Shiu期望罚金函数的一些结论。