已知一个矩阵，求其特征值(或特征向量)就是通常所熟知的矩阵特征值问题(或代数特征值问题)．矩阵特征值问题在数学和科学技术的许多领域经常遇到，是数值代数的核心课题之一，其研究具有重要的理论意义和应用价值．160多年来，矩阵特征值问题的研究取得了许多丰硕的成果，著作[86，159，121，27，150，138，71]对矩阵特征值问题的理论和方法进行了总结． 与矩阵特征值问题相反，人们需要由特征值、特征向量确定矩阵的元素，即所谓矩阵特征值反问题．这个问题一般是不适定的，所以需要添加一些限制条件．因此，矩阵特征值反问题就是在一定的限制条件下，根据特征值和特征向量的信息确定矩阵的元素．近50年来，特别是最近30年，有关各类矩阵特征值反问题的研究取得了可喜的进展．著作[190，31，70，33]比较全面系统地阐述了各种类型的矩阵特征值反问题及其主要研究成果．矩阵特征值反问题在振动反问题、结构设计、结构模型修正、故障诊断和数学物理反问题的离散模拟、粒子物理、线性多变量控制系统的极点配置等许多领域都有重要应用。 本文首先利用埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的特征性质和矩阵的广义奇异值分解理论，给出了埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的约束特征值反问题的一般表达式，运用希尔伯特空间的最佳逼近理论，对任意给定的n阶复矩阵，证明了相关约束最佳逼近解的存在性和唯一性，得到了最佳逼近解的表达式，由此给出了最佳逼近解的数值算法．关于相关约束最佳逼近解的数值例子验证了理论结果， 其次，基于反对称偏对称矩阵的特征性质和矩阵的奇异值分解理论，给出了反对称偏对称矩阵反问题和其最小二乘解的一般表达式，同时获得了该反问题可解性的充分必要条件．利用希尔伯特最佳逼近理论，证明了相关反问题及其最小二乘问题的最佳逼近解的存在性和唯一性，并且得到了最佳逼近解的表达式，由此给出了最佳逼近解的数值算法．相关反问题的最佳逼近解的数值例子验证了理论结果， 最后，提出了计算线性矩阵方程AXB=C的双对称解的新的迭代法，证明了对于任给的双对称矩阵X1，由该迭代法产生的序列矩阵Xk收敛到该矩阵方程的一个双对称解．通过选取适当的双对称矩阵，由该迭代法得到矩阵方程AXB=C的最小Frobenius范数双对称解．此外，对任意给定的双对称矩阵，由正交分解定理得到了该矩阵方程的最佳逼近双对称解．关于该迭代法的数值实验验证了新方法的有效性．