低频振动噪声凭借其强大的穿透能力和难以衰减吸收的顽强特性成为了生产和生活中普遍存在的噪声污染问题。由于共振机制的缺乏,依据传统的振动噪声控制方法设计出的低频减振降噪结构一般尺寸大而笨重。弹性超材料可以突破尺寸和重量限制,为减振降噪提供新的解决方案。然而,目前弹性超材料的数值模拟主要依赖于有限元法,其几何建模与后续的响应分析及结构设计相分离,导致了不可避免的几何近似误差及数值色散误差问题。其次,现有的能带结构计算大多是基于确定的数值模型,忽略了设计与制造过程中存在的不确定性,对超材料的物理响应造成了巨大的影响。此外,由于经验结构形状和优化方法的缺乏,弹性超材料的设计往往需要使用复杂的多相材料组合但却只能获得较窄的双负带宽,不适用于工程实际。在弹性超材料的应用方面,传统的吸声结构作用频率一般较高、有效吸声带宽相对较窄,限制了其推广应用。为此,本文将从弹性超材料的数值计算、优化设计、应用上展开系统的研究。数值计算部分主要是提出了基于等几何分析的固/固体系、固/流体系的超材料能带结构计算方法,实现了高效精确的数值计算;考虑不确定性提出了弹性超材料的混合不确定重分布有限元法,弥补了现有确定性方法的缺陷。在优化设计部分,发展了用于扩大弹性超材料双负参数频带的形状优化策略,实现了具有宽频双负特性的弹性超材料的设计。应用上主要提出了具有杂化共振耦合作用的新材料结构,实现了低频范围内宽频吸声。本文的研究工作和创新性主要体现在:（1）发展了基于等几何分析框架的固/固体系声子晶体能带结构的计算方法,采用统一的NURBS函数描述了结构的几何和位移场,构建了边界配点结合拉格朗日乘子法以准确处理周期性边界条件,实现了超材料CAD到CAE过程的无缝衔接。扩展了等几何分析方法的应用,实现了不同散射体形状、晶格类型、材料组合的声子晶体能带的准确计算。研究发现了基体与散射体之间声阻抗匹配越大,越容易产生面内混合波低阶带隙和面外横波低阶带隙。（2）提出了一种色散误差减小的等几何分析方法,揭示了基于高斯积分点的数值色散误差产生的原因,构建了新型的系统矩阵研究流体中的波传播问题,实现了超材料能带结构的高效精确可靠计算。构建了基于模板方程系数的色散误差减小策略,结合矩阵对称、能量守恒、静力平衡约束条件,推导了流体域内的新型单元矩阵。实现了不同类型的流固耦合声子晶体能带的高精度计算,为流固耦合声子晶体/超材料的设计分析优化奠定了基础。（3）提出了一种新型的混合不确定质量重分布有限元法,构建了精准的数值分析模型和可靠的不确定性模型,实现了超材料设计制造过程中不确定性的高效准确量化。分析了流体域纵波模拟过程中色散误差产生的原因,引入质量重分布策略提高了声固耦合声子晶体数值计算的精度;构建了混合不确定性模型,将随机响应的不确定性转化为了统计特性极值边界的确定性计算,准确地量化了不同类型的声固耦合声子晶体中物理响应的不确定性。（4）设计了一种新型的弹性超材料结构,揭示了双负参数产生的规律,形成了基于单相手性超材料的形状优化策略,实现了不同需求下的弹性超材料宽频双负参数的设计。从能带计算、动态有效参数提取、灵敏度分析出发,揭示了弹性超材料单极子和双极子共振的物理机制,研究了不同初始形状、相对频率、设计变量的手性超材料的形状优化设计策略,展示了与双负参数特性相关的三种新颖的物理现象:宽频负折射、超分辨率为0.28λ的亚波长成像、稳定的横纵波转换。探索了利用手性超材料的面外横波带隙在减振上的应用,发现了内芯旋转角度是打开和关闭低阶带隙的关键。（5）拓展了弹性超材料在降噪方面的应用,提出并制作了穿孔铝板结合多孔材料的杂化共振弹性超材料结构,实现了低频范围内的宽频吸声。研究了穿孔铝板与多孔材料的杂化共振耦合作用,分析了影响吸声性能的关键因素,揭示了低频范围内的宽频吸声机理,制作了复合型声学超材料结构,有效降低了吸声峰值处的频率、实现了低频范围内（≤1000Hz）近535Hz的宽频有效吸声,在800Hz处获得了完美吸声,拓宽了传统吸声材料的低频吸声性能。