【摘 要】
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本博士学位论文主要研究几类可压缩Navier-Stokes型方程组Cauchy问题的整体适定性。所拟研究的方程组包括描述粒子和流体相互作用的可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck方程组和粘性系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组。对这两类方程组Cauchy问题的整体适定性,在小初值的情形已有比较完善的结果,但是对大初值的情形相关的
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本博士学位论文主要研究几类可压缩Navier-Stokes型方程组Cauchy问题的整体适定性。所拟研究的方程组包括描述粒子和流体相互作用的可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck方程组和粘性系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组。对这两类方程组Cauchy问题的整体适定性,在小初值的情形已有比较完善的结果,但是对大初值的情形相关的结果还不多见。本学位论文的主要目的是研究这两类可压缩Navier-Stokes型方程组的Cauchy问题在大初值情形下的整体可解性。所得到的结果主要包括以下两个方面:首先是对一维和二维可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck方程组的Cauchy问题,得到了可能含有真空的大初值整体经典解的存在性;其次是对粘性系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组,我们得到了在大初始扰动下由稀疏波与接触间断所构成的复合波的非线性稳定性。本文主要分成如下四章:第一章,首先介绍国内外同行在相关问题的研究中所取得一些研究进展,引出我们想要考虑的问题,再给出我们得到的主要结果。第二章,我们研究的是粒子-流体耦合的可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck方程组的Cauchy问题。对相应的不可压或可压缩模型的整体弱解,文[15]中给出了不可压缩Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程组在二维和三维情形下的整体弱解的存在性,而文[114,117]中对三维可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组得到了弱解的整体存在性。至于相应的小初值经典解,文[13]中考虑的是三维不可压缩Euler方程组和Fokker-Planck方程的耦合型方程组在小初值条件下的光滑解的存在性。进一步,在小初始扰动下,三维可压缩Euler方程组和Fokker-Planck方程的耦合型方程组的经典解在文[31]中被得到。文[16]中对三维可压缩Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程组给出了在平衡态附近的经典解的存在性和收敛速度。可以看出对这类耦合型方程组,已有的结果主要集中考虑的是弱解的整体存在性和小初值情形下的经典解的存在性。我们想考虑的问题是:在大初值以及可能含有真空的条件下,是否可以得到这类可压缩的耦合型的方程组的经典解的整体存在性?这就是第二章主要关心的问题。在一维和二维情形下,我们对这个问题给出了肯定的回答。（见定理2.1和定理2.2）第三章,我们考虑的是粘性系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组Cauchy问题基本波的非线性稳定性。对这类问题,在小初始扰动且输运系数为正常数的情形,文[69],[88]和[81]研究了粘性激波的非线性稳定性,相应的接触间断的非线性稳定性由文[54]得到,而在文[70]中讨论的是稀疏波的非线性稳定性。上述文献中所引入的方法可以用来得到小初始扰动下粘性系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组Cauchy问题三类基本波的非线性稳定性。但是对大初始扰动的情形,只是在文[55]中在输运系数为常数的情形下得到了由稀疏波和接触间断所构成的复合波的非线性稳定性,我们本章所关心的问题是:对输运系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组的Cauchy问题能否得到大初始扰动下由稀疏波和接触间断所构成的复合波的的非线性稳定性?在第三章中,我们给出了这一问题的肯定的回答。（见定理3.1）第四章,我们将给出拟进一步研究的问题。第一个问题是对三维可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck方程组的Cauchy问题,在允许初值具有大震荡和可能含有真空时,能否得到类似于[49]的经典解的整体存在性?另一个相关的问题是考虑其整体弱解的存在性。第二个想考虑的问题是研究在大初始扰动下一维反应辐射气体方程组的Cauchy问题由稀疏波和接触间断所构成的复合波的非线性稳定性。目的是想得到类似于[46]中讨论的粘性系数依赖于温度的理想多方气体方程组在大初始扰动下由稀疏波和接触间断所构成的复合波的非线性稳定性结果。
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