本文主要研究两个问题。第一个问题是研究一类带有非局部方程解的渐近性质，我们主要考虑如下抛物型偏微分方程:ut-△um=a(x)up(0，t)+b(x)uq（x，t）.我们证明在p＞q≥m时，该问题的整体爆破解的爆破速率在任意紧子集上是一致成立的，并且当t趋向于爆破时刻T*时，|u(t)|∞的爆破速率是精确可求的。当p=q＞m时，在适当的情况下，我们得到爆破率的最大值。　　 第二个问题主要研究的是距离空间的距离函数和诱导距离函数的关系，文中给出了分割，分割的加密，可求长曲线以及曲线长度的定义及其相关性质，并对这些性质予以了证明。仿照黎曼几何的做法，通过距离空间的距离函数给出了距离空间的诱导距离函数的概念，并证明了在距离空间中，两点间的诱导距离不小于这两点的距离并给出相应的应用举例。