其中T为给定正整数，Wt为定义在概率空间（Ω，F，P,{Ft｝0≤t≤r）上的d-维标准布朗运动，f(t，yt，zt)是一个ft一适应过程（0≤t≤T），是一个{Ft）可测的随机变量.1973年，Bismut[36]研究了线性形式的倒向随机微分方程；1990年，Pardoux和Peng[25]给出了BSDE的一般形式，并证明了当生成函数满足Lipschitz条件时倒向随机微分方程(2)解的存在唯一性定理。此后，倒向随机微分方程及其解的形式得到了广泛的研究。在[27]中，Peng证明了正倒向随机微分方程(FBSDE)与偏微分方程之间的直接联系，随后给出了随机最优控制中的一般最大值原理[26]。1997年，N.E1 Karoui，Peng和Quenez在[15]中通过BSDE获得了推广的Black-Scholes公式，使得BSDE理论逐渐应用于会融理论中，进而使得BSDE理论具有了更大的活力。经过十几年的发展，BSDE理论在随机控制、偏微分方程、金融数学、控制论及经济学等领域得到了广泛的应用。　　 BSDE在各个领域的应用需要回答的首要问题就是，当给定终端条件和生成函数时如何求解相应的BSDE。但是，我们很难求得一般意义下的BSDE的解析解，目前只有当生成函数为几类特殊的函数时力可以得到其解析解。对于大多数情况，我们只能借助于数值方法来求解BSDE。求解BSDE的数值方法总共可以分成两大类。第一类是基于倒向随机微分方程和偏微分方程之间的关系而提出的数值方法。其中比较有代表性的是Ma，Protter，Yong在[18]中提出的数值求解FBSDE的四步法，Delarue和Menozzi[9]提出的求解全耦合的FBSDE的正倒向随机算法。　　 第二类方法直接从BSDE本身的特点出发构造数值格式[3；4；5；7；8；9；14;22;29;32;34;35]。当BSDE生成元f不含变量zt时，Chevance[7]提出了基于时空全离散的求解BSDE的数值方法；当BSDE生成元f依赖于变量zt时，Bally[3]提出了基于特殊时间网格的数值方法，避免了对随机积分离散时产生的困难。Bender和Denk提出了求解BSDE的正向格式，Peng在[29]中提出了求解BSDE的线性达代方法。另外，Memin，Peng和xu[22]提出了用随机游走模型求解BSDE的数值方法并且给出了收敛性证明。Cvitanic和Zhang[8]给出了应用Monte-Carlo方法求解FBSDE的数值格式，并且在一定的条件下对该格式进行了修正且给出了收敛性分析[32]。在[l4]中，Gobet等推广了Zhang的方法，并给出了强Lp(P≥1）意义下的误差估计。Bouchard和Touzi[5]基于Zhang的工作提出了求解BSDE的隐格式。Zhao在[34]中提出了求解BSDE的o一格式，并且在[35]中给出了误差分析。　　 我们注意到，现有的绝大部分求解BSDE的数值方法依赖于对标准布朗运动的近似，但是我们无法对标准布朗运动进行高精度的逼近。因此现有的方法都无法实现对BSDE的高精度求解。虽然应用Monte-Carlo方法可以得到较高的精度，但是Monte-Carlo方法的精度1√N依赖于随机试验的次数，这使得高精度求解的计算量变得无法接受。目前，θ一格式可以得到较高的精度，但是θ一格式仅仅是一步格式。　　 本文中我们从以下几个方面研究了求解BSDE的数值方法：　　 ·提出了求解BSDE的多步数值方法。此方法以及全离散的时空网格。在时间坐标轴上，我们用基于多个时间步的Lagrange插值多项式来逼近被积函数，即条件数学期望；在空间坐标轴上，我们用Gauss-Hermite积分公式和多项式插值方法来近似BSDE的解。理论上，只要满足一定的稳定性条件，多步法可以达到任意的精度。　　 ·多步法半离散格式的误差分析。我们证明了当BSDE的生成元f不含变量Zt时，多步法的半离散格式收敛性并且证明了半离散格式的收敛阶依赖于求解某一时间层时用到的时间步数。　　 ·多步法的高效率格式。虽然求解BSDE的多步法可以达到很高的精度，但是高精度的要求也使数值求解的计算量变得难以接受。其原因是，当应用Gauss-Hermite积分公式近似条件数学期望时并没有考虑到标准布朗运动的性质。换言之，在构造数值格式的同时，我们应当考虑如何更好的模拟标准布朗运动。因此，我们构造了一类新的离散随机过程，称为Gauss-Hermite过程，并基于此对多步法进行了改进，提出了求解BSDE的高效多步方法。这种方法在使得计算量大大缩减的同时能够与多步法保持完全相同的精度。　　 ·高效多步方法的误差分析。通过倒向追踪高效多步法的误差传播过程，我们得到了如下结论：如果我们依据某些条件对时空网格进行适当比例的缩小，高效多步法与多步法具有完全相同的数值精度，同时计算量得到了大规模的缩小。　　 ·多步法的并行计算。为了进一步提高计算效率，我们研究了多步格式的并行化。在某一时间层求解时，我们将整体的工作量平均分配给若干个进程同时计算，全部完成之后再由控制进程将所有的解收集起来，得到本时间层上的所有数值解。因为多步法和高效多步法均可局部化，所以并行计算可以大大提高求解效率。　　 论文全文共分五章，具体组织如下：　　 ·第一章：倒向随机微分方程背景知识；　　 ·第二章：BSDE数值方法综述；　　 ·第三章：求解BSDE的多步方法及其误差分析；　　 ·第四章：求解BSDE的高效多步方法、误差分析及并行算法研究；　　 ·第五章：数值试验。