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非线性泛函分析是一门既悠久又现代的学科，它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域层出不穷的非线性问题提供了卓有成效的工具，作为自非线性泛函分析中衍生发展起来的新的分支，Banach空间微分方程和积分方程理论虽经历了不足三十年的发展过程，然而它已被广泛应用于诸如临界点理论，偏微分方程理论，特征值问题等许多领域，其重要性日益凸现出来． 郭大钧先生在专著[7]中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如典型的非线性算子、Hammerstein积分方程、常、偏微分方程、迁移方程、锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点定理以及固有值、解的个数与分支，都做了系统的概括和总结．[1]包括的内容非常多，它包含了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果． 本文利用锥理论、单调迭代技术、锥拉伸压缩不动点原理、上下解方法、不等式迭代技术、M(?)nch不动点理论等，研究了几类微分方程解的情况．所得结果或是新的，或是采用新方法在更弱条件下推广和改进以前的结果． 本文共分四节． 第一节我们讨论了实Banach空间(E，儿㈨)中下列非线性混合型微分- 积分方程 {u=f苟t,t，Tu，Su)，t I,k =C[Do，R+)， (1．1．1) 其中 (Tu)(t)=人k(t，s)u(s)ds，t I,K AC[Do2，R+]； (Su)(t)=九h(t，s)u(s)ds，t／I，HC[I×I2,R+]． 这里H一二m．－丁）、o；＝｛f．｝》EHl ＜爿＜I＜叫l（；＝二11＊二川人叫： f．XEDO｝．人0＝。。。＊x…U．人。：I．／E川． 我们需要以下条件： （HI） 存在no E厂p．厂二是1P（1） 的下解＠ ＊。1二；S．f《f。l【j·T。I；。·从j＊》。 。。（／》S．I”；；： 。尸叫） 三任给4壬＊ 上＊厂三厂＝｛｛／ECJ厂 U＞／／；；｝回JI＜l都有 ／（f。T。从）一人I。1．TI．＼U）＞一」八。一川一‘＼（T卜－。。l 其中－＼I．X三口是满足引理中条件 n或（i）的常数； （H3） 存在L＊＊esp且＊可积函数＊川．尸川回Q卜）三＊使任意卜．含E D． ；！三。都有 J（Z．乙·．＊＊．JI·卜J（I．＊～TI．JU）＜L（川＊一U）十P（重）（T（L’一U》十Q（）尸（。·一U》· 定理 1．3．1设厂是 BQnQCh空间，P是 E中的正规锥．假设（HI）（HZ）（H3） 成立，则11。T．1．1）在D中存在唯一解。”，且对任慧。。E D，迭代序列 ，l、＿一＊It＿，J｛I＿＿，J＿＼I门口．．＼I。＼／口。。V＿八、、J、．．J。＼ ti，。《t）＝6“”“110十J V（S，11”nl（）八IW。一l八S）八b川。一l八S川十 j’1出。一八SI 一NT（u＊一＊，＊一）s）e人”ds｝（1．3．l） 在I上依E中范数一致收敛于。＊t），并且有误差估计 A” 帅＊一w＊【【＊S人＊＊I卜＊一＊＊11＊＋人0一卜1一＊口11＊＊ ＊三N．（I．3．2） ”－’‘－”“‘”””’‘一””‘’“”l 人““”’“’‘ 其中 01二 e一‘”仁口＋亿rt，0。（S）；（T＊。）（8），（S＊0）（S））一 N（Tuo）（。）］eM”ds）． 定理 1．3．2设 E是空间，P是中的正规锥，若 f满足下列假设： （凤）’存在＊口Ec＊贝是＊＊＊1．1．二）的上解，即v＊’三／（土＊＊，＊＊口；仇＊）； UO（ 三工。； （HZ）’同（HZ）； 4 占 （H／ 同（从）． 则n一P：1回1川在D二毛E＊厂厂11仑，三互，：可｝中存在唯一解乙上寡回且对任意 ；I·（，ED．迭代序列 11＿Ill72t ti，、。IlllSll．llslllll－ill．＼ll．3II’、IllSllW！Ill．IISI 一八（I（·。一乙1、可；一l）（人）］了1厂水d／｝ 在 I上依厂中范数一致收敛于；l·．（1）．并且有误差估计 ／l，一〔l、．＜儿、入（h 一；．．一＼————I，一l；．门＞＼ ”—””””””l＜““”一 其中江·l二。一·＼’｛TO十厂／（J回。、C；（。）．〔T。·0《＞多．（J。，）仁上》一回＼（T。·0）（叫I可·土’A。／叶． 注 l．3二 文问定理4的一个关健条件为（H汁存在常数 R．r三（）使得 任给t EI间。咆灭·Eb丐u。0工雹U S。·都有 ／（I。，T。，）一f儿。I回T。1）＜D卜一?