【摘 要】
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本文主要研究以下内容:一是构造Levi可积族的可积耦合系统并求双Hamilton结构,再对多分量KN可积族和KWI可积族进行了初步的研究,二是寻求几类非线性发展方程的精确解.首先,我们以经典Levi可积族为例,介绍了屠格式的一般步骤:第一步,构造合适的关于空间变量的谱问题;第二步,通过解稳态零曲率方程,构造相应的递推关系;第三步,构造合适的关于时间变量的谱问题,利用零曲率方程给出相应的可积族;第四
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本文主要研究以下内容:一是构造Levi可积族的可积耦合系统并求双Hamilton结构,再对多分量KN可积族和KWI可积族进行了初步的研究,二是寻求几类非线性发展方程的精确解.首先,我们以经典Levi可积族为例,介绍了屠格式的一般步骤:第一步,构造合适的关于空间变量的谱问题;第二步,通过解稳态零曲率方程,构造相应的递推关系;第三步,构造合适的关于时间变量的谱问题,利用零曲率方程给出相应的可积族;第四步,利用迹恒等式或多分量迹恒等式,构造双Hamilton结构.其次,基于非半单Lie代数,利用经典Levi可积族构造相应的可积耦合系统并由多分量迹恒等式给出了双Hamilton结构.然后我们对于两类新的Levi可积族,做了类似的研究,即利用屠格式得到这两类新的Levi可积族的可积耦合和双Hamilton结构.另外,构造出多分量KN可积族和多分量WKI的可积族,并研究其Hamilton结构和相应的非等谱流.最后,我们对几类非线性发展方程的精确解进行了研究.对于(1+1)维Drinfel’d-Sokolov-Wilson(DSW)方程组,先是利用不同形式的f给出了DSW方程组的一类精确解,分别讨论了lumpoff行为(lump-单孤子型解)和怪波(lump-双孤子型解).对于(3+1)维广义的Burgers方程,利用Backlund变换,并选择合适的种子解和相应的多线性变量分离假设构造了新的精确解.对于Ito方程,通过求得的Multi-cosh函数型的精确解,利用cos函数和cosh函数之间的关系,得到Ito方程的Multi-cos函数型的精确解.对于带有延迟项的反应扩散方程组,我们利用泛函约束法对方程进行了约化和求解.
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