工业元器件的微型化是近年来工业发展的一个趋势，然而，材料性能并非按照材料尺寸的缩小而成比例变化，在微米或纳米量级，材料行为与宏观尺度下的理论预测完全不同。这就要求建立微尺度下的物理规律，微极理论是一种用于解释在微纳米量级时材料力学行为的连续介质理论，该理论目前已广泛应用于多晶体金属材料的局部化，各种颗粒、纤维增强相的复合材料，骨骼，负泊松比材料，压电材料和微流体等力学性能的分析预测。 目前，对于微极理论下数值方法的研究很少，鉴于数值方法在工程中的重要性，本文研究了微极理论的有限元实施方法，为微极理论的应用提供了强有力的数值工具。在此基础上，研究了一些典型的尺度效应现象，发现了一些对工程实践具有重要参考价值的现象。 基于微极理论的最小势能原理，导出了弹性微极理论的有限元实施方法。随后，我们设计了三种单元，4节点元MQ4，8节点元MQ8和带泡函数的8节点元MQ8-λ。通过细长梁试验和网格畸变试验发现，MQ8-λ元数值性能稳定，对网格畸变不敏感，这是由于该单元形函数在物理坐标系下达到了二次完备。对含空洞平板尺度效应的数值研究也验证了单元的可靠性。 通过对微极理论下有限元非协调离散体系能量泛函的分析，导出了微极理论下非协调元的能量相容条件，进一步通过收敛性分析，导出了一个非协调位移的合理约束条件，满足该约束条件，不但可以保证系统能量协调性不受破坏，而且可以优化单元性能。利用这个条件，我们构造了一个性能优越的单元MQ4-λ5。相比于前面构造的MQ8-λ元，该单元具有节点个数少，通用于可压和不可压缩材料分析等优点。 采用构造的单元，对含孔洞平板的尺度效应进行了分析。结果表明，在微极理论下，当孔洞直径接近于材料特征长度时，与经典弹性理论相比，应力集中因子大幅下降。这与近年来的一系列微观实验的趋势是相同的，即在复合材料中，孔洞生长强烈的依赖于孔洞尺度，空洞越小，其生长破坏速度越慢。这种尺度效应仅在孔洞附近很小的范围内存在，在远离孔洞表面时，趋于经典理论解答。对超薄板料弯曲成形的分析表明，在相同的载荷作用下，当板的厚度接近于材料特征长度时，板的挠度远小于经典塑性理论的预测，板内应力应变分布与经典弹塑性理论预测有很大的区别；当板厚远大于材料特征长度时(如H/l＞10)，板挠度接近于经典塑性理论的预测，尺度效应可以忽略不计。对Ⅰ，Ⅱ型裂尖场的分析表明，对于Ⅱ型裂尖场，梯度理论下的剪应力tθr是经典HRR场的约2.5倍，对于Ⅰ型裂尖场，提高幅度较小仅为1.7倍，这主要是由于Ⅰ型裂尖场是无旋的，而Ⅱ型场是有旋场。在裂尖渐进场，等效应力的分布与角度无关，呈水平直线状分布。偶应力在裂尖渐进场内非常小，没有奇异性，但在过渡区内偶应力较大。在应变梯度作用域内，与Cauchy应力相比，偶应力并不占优。 最后，构造了适用于偶应力理论的薄板单元，并分析了几种薄板弯曲过程中的尺度效应现象。