几何造型是CAD系统的核心.参数曲线曲面一直以来都是描述几何形状的主要工具,其中,参数化和曲面拼接是CAD中曲线曲面造型的基础问题.作为本文的部分内容,我们研究了Bezier曲线的最优重新参数化及B样条曲面的拼接.几何设计过程中,常常需要得到曲线的最优参数化.我们用一组表示集合来表示一条给定的Bezier曲线,再从表示集合中选出最优的参数化曲线.对于一条多项式Bezier曲线,分别给出了多项式参数化和有理参数化的表示集合.另外,对于一条有理Bezier曲线,通过升阶获取其表示集合.表示集合的生成具有几何直观意义.曲面拼接在几何设计过程中也是非常有用的,如圆边、圆角等操作中经常用到曲面拼接技术.非均匀有理B样条(NURBS)已经成为现有CAD/CAM系统的工业标准.因此,研究B样条曲面的拼接是非常有意义的.然而,对于任意两张B样条曲面,因其节点向量通常是不同的,使得无法通过样条曲面拼接.本文提出了基于曲线表示的样条,即半结构B样条曲面.该曲面通过蒙皮一系列不同节点向量的B样条曲线得到.赋值合适的节点向量给蒙皮曲面的首尾曲线,半结构B样条能够光滑地拼接两张B样条曲面.我们将B样条曲面拼接问题转化为带连续性约束的优化问题,使得曲面的拼接达到G2或者C2连续.CAD几何模型通常作为CAE的数据接口,为避免网格转换和加速CAD/CAE的无缝集成,出现了一种新的数值方法,即等几何分析.等几何分析方法利用非线性基的NURBS函数逼近边值问题(或初值问题)的解析解.如果NURBS函数的阶足够高,边值问题可以通过强形式的等几何配点法(IGA-C)求解.另外在精度时间比等方面,等几何配点法(IGA-C)比伽辽金方法表现更好.但是IGA-C方法理论性分析的工作相对欠缺.本文对一般边值问题(初值问题)给出了一致性和收敛性分析.如果微分算子是稳定的或强单调的,IGA-C方法将会收敛.然而,配点的选择对IGA-C方法的求解具有很大的影响.理想配点的选择仍然是一个未解决的问题.为了降低配点方法对解的影响,本文提出了等几何最小二乘配点法(IGA-L).IGA-L方法通过逼近微分算子拟合真实微分算子求得数值解.因此,IGA-L方法允许配点数大于未知数个数.这给配点的选择带来了极大的便利,并使得IGA-L方法在稳定性、和效率方面表现的更为理想.综上所述,本文对样条曲线曲面在CAD/CAE中的应用提出了新设想和新方法,为CAD/CAE提供了新工具和新技术,这些理论研究成果的正确性已被本文大量数值实验所验证,表明它们在计算机辅助设计、计算机辅助工程分析中具有广阔的应用前景.