随着三维数据采集技术的发展,数字几何数据成为继声音、图像和视频之后的新媒体形式,并在曲面造型、计算机动画与视觉、地理信息系统、物理仿真、虚拟现实、科学计算的可视化等领域有着广泛的应用。本文的研究是基于三角网格曲面这一基本的几何数据。在计算机图形学、计算机视觉和医学图像处理等领域,寻找曲面间的低扭曲几何映射一直是一个重要的基本性问题。其中,曲面参数化和曲面注册就是其中的两个重要技术。随着数字几何处理的发展及曲面微分几何在计算机科学中的广泛应用,越来越多基于低扭曲几何映射的工程技术难题被解决。本文以三角网格数据为基础,围绕低扭曲几何映射问题,对低扭曲的球面参数化及平面网格上低扭曲映射进行研究。对于亏格为0的封闭三角网格曲面,我们提出了一种尽可能保刚性的球面参数化方法(ARAP方法)。该方法是平面域上尽可能保刚性参数化在球面域的推广。我们的目标是寻找一个具有最优半径的球面网格,使得每个三角形都能尽量保刚性地映射到该球面上。通过分析二维及三维空间连续和离散的ARAP能量,给出基于ARAP能量的球面参数化的优化模型。该模型的求解涉及到一个带有非线性约束的二次规划优化问题。针对该问题,我们提出了有效的两步迭代算法,包括局部／全局算法更新球面顶点坐标和迭代更新半径。该方法克服了以往方法仅仅优化角度扭曲或者面积扭曲的缺点,直接优化刚性(长度)扭曲。实验结果表明,与现有方法比较,该方法具有最好的保持三角形刚性的能力。对于亏格为0的封闭三角网格曲面,我们提出了一种低度量扭曲的有效球面参数化方法(BLD方法),包括保角度和保长度两类。以往的方法要么不能控制最大度量扭曲,要么不能保证球面参数化的有效性。针对这些不足,我们提出了一种基于AMIPS能量优化的球面参数化模型。给定一个初始的有效参数化,即使初始的扭曲比较大,我们通过求解一个带有非线性约束的非线性优化问题来逐步改进它,惩罚参数化过程中最大扭曲的同时,保证优化过程中三角形不出现翻转。为了有效地求解该优化问题,我们设计了一种基于参数动态调整的不精确Block Coordinate Descent方法的迭代优化算法,得到了最优半径球面上的低扭曲的有效球面参数化。实验结果表明,无论是在几何简单还是复杂的模型上,该方法得到的球面参数化结果均能在保证双射的基础上,具有最低的最大扭曲和平均扭曲。此外,数值实验表明,该方法快速、有效,不依赖于初值,且对参数的选择不敏感。对于图像特征点匹配问题,我们通过构造平面网格上低扭曲映射的方法来寻找两张图像之间具有几何一致性的特征点对应。输入是由SIFT算法得到的含有噪音的若干图像特征点对应,我们希望能从含有大量噪音的特征点对应中寻找出尽可能多的具有几何信息的对应点。针对该问题,我们提出了基于拟共形映射函数空间的过滤方法,将该问题转化成关于Beltrami系数和拟共形映射函数的带约束的优化问题,并提出了一种基于变量分离方法和迭代最小二乘方法的有效迭代算法。在每一步的迭代中,我们要求解两个子问题：关于拟共形映射函数的稀疏线性系统求解问题和关于Beltrami系数的带有线性约束的凸二次规划问题。为了衡量算法的准确率,我们定义了刻画特征点匹配准确性的统计量F-measure,并分别在合成数据和真实图像上做了测试。实验结果表明,我们的方法能够筛选出更多的具有几何一致性的特征点对应,并且对参数的选择和噪音均不敏感。