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关于整数的同余数是一个具有悠久历史的问题。本文主要将同余数的概念模拟到有理函数域k(t)上。首先，给出了同余多项式基本定义，并给出了同余多项式的一系列基本性质；然后，阐述了其与有理函数域上一类椭圆曲线的关系，应用2-下降法和奇性图的方法，证明一系列对应的秩为零的椭圆曲线和非同余多项式。特别是，证明了当k=Fq，其中q=pf，p≡3(mod4)并且f为奇数时，n(t)=P1PP2…Pl，在degPi≡1(mod2)，i=1或者2；或者degP1=1(mod2)，degP1≡0(mod4)(2)(2≤i≤l)且G(n(t))是一个奇性图条件下，n(t)也是非同余多项式。