在数论问题的研究中,多项式和递推序列一直深受学者的喜爱,特别是两类切比雪夫多项式、斐波那契多项式、勒让德多项式、卢卡斯多项式等,它们在多项式的研究中扮演着极其重要的角色。近几年来许多专家、学者把对多项式的有限乘积和作为数论的热点问题之一进行研究,得到了很多有趣的恒等式。但是在研究过程中当数字过大,会出现不易计算等问题,本文以此为出发点,利用第一类切比雪夫多项式的分析方法和性质,研究勒让德多项式的有限成积和,并给出了一些新的有趣的恒等式,从而改进了现有的结果。同时,将新的恒等式推广到多函数的正交性和解析数论中。通过研究给出以下结论:本文第二章主要研究勒让德多项式的有限乘积和问题。从勒让德多项式的生成函数研究出发,利用幂级数的相关知识,得到了勒让德多项式的有限乘积和新恒等式。这些研究完善了勒让德多项式有限乘积和方面的研究,并解决了递推多项式中数字较大不宜计算的问题。本文第三章主要研究勒让德多项式的特征和的上限估计。通过第二章新的恒等式,以及第一类切比雪夫多项式的正交性揭示了勒让德多项式有限乘积和的正交性,这也是第二章中新的恒等式在解析数论和函数正交性中的直接应用。这些研究在解析数论中具有重要的意义,同时也为Gauss和的研究做出了新的贡献。本文第四章主要研究斐波那契多项式Fn（x）的递推关系和通项公式,并建立了斐波那契多项式与卢卡斯多项式Ln（x）之间的联系,从而得到有关斐波那契多项式乘积和的恒等式。