在分析学领域中,拓扑学是一个重要的数学分支,本文主要讨论拓扑空间中一类特殊的空间——线性拓扑空间及其上的相关理论。如果空间E是线性空间,同时又是拓扑空间,而且E中的代数运算按其拓扑连续,我们称这一类重要的空间E是一个线性拓扑空间,它可以看做线性距离空间的一种推广。在对线性拓扑空间的讨论和研究中,我们总是假定线性拓扑空间是Hausdorff线性拓扑空间。本论文通过非标准分析的理论对线性拓扑空间进行了研究,结论如下。(1)在拓扑空间中,给出了集合稠密、无处稠密的概念,并应用非标准分析理论进行刻画和证明;(2)本文给出了拓扑空间中映射的连续、上半连续、下半连续的非标准特征。应用非标准分析的方法对拓扑空间中映射的连续性进行了证明;(3)对线性拓扑空间进行了非标准刻画与证明,并应用此刻画讨论了线性拓扑空间中凸集、凸包的性质;(4)在Hausdorff拓扑空间中,应用非标准分析方法定义了集族上的Vietoris拓扑,进而在Vietoris拓扑上定义了两类新单子:C-单子,I-单子。并应用C-单子和I-单子的定义及非标准分析理论讨论了Hausdorff空间中一族集网按Vietoris拓扑收敛的几个性质;(5)应用非标准分析理论对Hausdorff拓扑空间上集值映射的上半连续、下半连续、连续、弱下半连续的概念进行了刻画和证明,给出了集值映射F的图的非标准刻画,应用非标准分析的方法研究了集值映射连续性的相关性质。